Question

Dadas la siguientes matrices. Realizar las siguientes operaciones

Answer 1

Pasando en limpio el problema nos solicitan realizar estas operaciones que vamos a hacer paso a paso:

$R=A.(B^{T}-C).2(B-A)$

Comencemos por hallar la traspuesta de B que es aquella matriz donde:

$B^{T}_{ij} = B_{ji}\\\\\left[\begin{array}{cccc}5&-2&3&1\\3&-4&1&2\\-1&0&-3&4\end{array}\right]^{T}=\left[\begin{array}{ccc}5&3&-1\\-2&-4&0\\3&1&-3\\1&2&4\end{array}\right]$

Para hacer la suma sumamos las matrices elemento por elemento elemento, de modo que sean dos matrices A y B:

$R=A+B => R_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$

De esta forma resolvemos este término:

$B^{T}+C = \left[\begin{array}{ccc}5&3&-1\\-2&-4&0\\3&1&-3\\1&2&4\end{array}\right] +\left[\begin{array}{ccc}0&-2&-3\\4&3&-1\\-1&0&4\\-2&-4&2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}5&3&-4\\2&-1&-1\\2&1&1\\-1&-2&6\end{array}\right]$

Ahora aplicando el mismo método resolvemos la sustracción, esta vez se resta elemento a elemento:

$B-A=\left[\begin{array}{cccc}5&-2&3&1\\3&-4&1&2\\-1&0&-3&4\end{array}\right] -\left[\begin{array}{cccc}3&-1&3&0\\-2&1&2&-4\\-1&0&-5&2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}2&-1&0&1\\5&-5&-1&6\\0&0&2&2\end{array}\right]$

Ahora lo que queda es multiplicar la matriz por 2, el resultado de multiplicar la matriz por un escalar es otra matriz cuyos elementos son los de dicha matriz por el escalar de modo que sea una matriz A y un escala real k:

$P=kA => P_{ij}=kA_{ij}$

Nos queda que:

$2(B-A) = 2\left[\begin{array}{cccc}2&-1&0&1\\5&-5&-1&6\\0&0&2&2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}4&-2&0&2\\10&-10&-2&12\\0&0&4&4\end{array}\right]$

Ahora hacemos el producto de las 3 matrices de forma secuencial, para poder hacer la multiplicación, la primera matriz debe tener tantas columnas como filas haya en la segunda y no es conmutativa pero sí es asociativa. Entonces sean dos matrices A y B el producto es:

$A.B = P => P_{ij} = \sum_{m=1}^{m=N} A_{im}.V_{mj}$

Donde m es el número de columnas de la primera matriz y de filas de la segunda. Es decir hacemos el producto escalar entre fila de la primera y columna de la segunda.

Realizamos esta multiplicación primero:

$(B^{T}+C)=\left[\begin{array}{ccc}5&3&-4\\2&-1&-1\\2&1&1\\-1&-2&6\end{array}\right]\\A(B^{T}+C)= \left[\begin{array}{cccc}3&-1&3&0\\-2&1&2&-4\\-1&0&-5&2\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}5&3&-4\\2&-1&-1\\2&1&1\\-1&-2&6\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}19&14&-8\\0&3&-15\\-17&0&-12\end{array}\right]$

Aquí para hallar cada elemento hicimos:

$P_{1} = A(B^T+C) = \left[\begin{array}{cccc}3&-1&3&0\\-2&1&2&-4\\-1&0&-5&2\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}5&3&-4\\2&-1&-1\\2&1&1\\-1&-2&6\end{array}\right]\\P_{1}_{,11}= (3,-1,3,0).(5,2,2,-1) = 15-2+6=19\\P_{1}_{,12}= (3,-1,3,0).(3,-1,1,-2) = 9+1+3=14\\P_{1}_{,21}= (-2,1,2,-4).(5,2,2,-1) = -10+2+4+4=0\\...$

Y luego realizamos el último producto:

$2(B-A)=\left[\begin{array}{cccc}4&-2&0&2\\10&-10&-2&12\\0&0&4&4\end{array}\right]\\A(B^T+C).2(B-A)=\left[\begin{array}{ccc}19&14&-8\\0&3&-15\\-17&0&-12\end{array}\right].\left[\begin{array}{cccc}4&-2&0&2\\10&-10&-2&12\\0&0&4&4\end{array}\right] =$

$\left[\begin{array}{ccc}19&14&-8\\0&3&-15\\-17&0&-12\end{array}\right].\left[\begin{array}{cccc}4&-2&0&2\\10&-10&-2&12\\0&0&4&4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}216&-178&-60&174\\30&-30&-66&-24\\-68&-34&-48&82\end{array}\right]$