Question

Dada la siguiente matriz, calcular su inversa a través de los métodos de Gauss Jordan y Determinantes A^(-1)=(1/DetA∙AdjA).

M = (1 -1 3
-5 3 0
-7 2 -3)

Answer 1

La inversa de la matriz M por el método de Gauss Jordan y determinantes es:

$M^{-1}= \left[\begin{array}{ccc}-3/13&1/13&-3/39\\-5/13&6/39&-5/39\\11/39&5/39&-2/39\end{array}\right]$

Explicación paso a paso:

Datos;

$M = \left[\begin{array}{ccc}1&-1&3\\-5&3&0\\-7&2&-3\end{array}\right]$

calcular su inversa a través de los métodos de Gauss Jordan y Determinantes A^(-1)=(1/DetA∙AdjA).

El método de Gauss Jordan para la resolución de sistemas de ecuaciones plantea, hallar una matriz Mx = I, siendo I la matriz identidad.

$=\left[\begin{array}{ccc}1&-1&3\\-5&3&0\\-7&2&-3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

f₂+5f₁

f₃+7f₁

$=\left[\begin{array}{ccc}1&-1&3\\0&-2&15\\0&-5&18\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\5&1&0\\7&0&1\end{array}\right]$

-1/2f₁

$=\left[\begin{array}{ccc}1&-1&3\\0&1&-15/2\\0&-5&18\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-5/2&-1/2&0\\7&0&1\end{array}\right]$

f₁+f₂

f₃+5f₂

$=\left[\begin{array}{ccc}1&0&-9/2\\0&1&-15/2\\0&0&-39/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-3/2&-1/2&0\\-5/2&-1/2&0\\-11/2&-5/2&1\end{array}\right]$

-2/39 f₃

$=\left[\begin{array}{ccc}1&0&-9/2\\0&1&-15/2\\0&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-3/2&-1/2&0\\-5/2&-1/2&0\\11/39&5/39&-2/39\end{array}\right]$

f₁+9/2f₃

f₂+15/2f₃

$=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-3/13&1/13&-3/13\\-5/13&6/13&-5/13\\11/39&5/39&-2/39\end{array}\right]$

Método del determinante es la matriz adjunta entre el determinante;

M⁻¹ = adj(M)/det(M)

Determinantes es;

det(M) = 1(3)(-3) + 1(-5)(-3) + 3[(-5)(2)-(-7)(3)]

det(M) = 39

El calculo de la matriz adjunta se realiza calculando la matriz de cofactores y trasponerla;

Ver imagen.

$M'=\left[\begin{array}{ccc}-9&-15&11\\3&18&5\\-9&-15&-2\end{array}\right]$

$Adj(M) =\left[\begin{array}{ccc}-9&3&-9\\-15&18&-15\\11&5&-2\end{array}\right]$

$M^{-1}= \left[\begin{array}{ccc}-3/13&1/13&-3/39\\-5/13&6/39&-5/39\\11/39&5/39&-2/39\end{array}\right]$