Question

Dada la siguiente matriz, calcular su inversa a través de los métodos de Gauss Jordán y por el método de Determinantes (A^(-1)=1/DetA∙AdjA). Compruebe que
A∙A^(-1)=I. Halle la inversa de la matriz en Geogebra y compruebe los resultados.

Answer 1

La matriz inversa aplicando ambos métodos (Gauss Jordan y Determinante) es:

$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}-7/228&23/38&3/19\\23/342&3/38&2/57\\11/171&-6/19&-8/57\end{array}\right]$

Explicación paso a paso:

Datos;

$A=\left[\begin{array}{ccc}0&12&3\\4&2&5\\-9&1&-17\end{array}\right]$

El método de Gauss Jordan para la resolución de sistemas de ecuaciones plantea, hallar una matriz Mx = I, siendo I la matriz identidad.

$=\left[\begin{array}{ccc}0&12&3\\4&2&5\\-9&1&-17\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

f₁⇔1/4f₂

$=\left[\begin{array}{ccc}1&1/2&5/4\\0&12&3\\-9&1&-17\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}0&1/4&0\\1&0&0\\0&0&1\end{array}\right]$

f₃+9f₁

$=\left[\begin{array}{ccc}1&1/2&5/4\\0&12&3\\0&11/2&-23/4\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}0&1/4&0\\1&0&0\\0&9/4&1\end{array}\right]$

1/12f₂

$=\left[\begin{array}{ccc}1&1/2&5/4\\0&1&1/4\\0&11/2&-23/4\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}0&1/4&0\\1/12&0&0\\0&9/4&1\end{array}\right]$

f₁-1/2f₂

f₃-11/2f₂

$=\left[\begin{array}{ccc}1&0&9/8\\0&1&1/4\\0&0&-57/8\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1/24&1/4&0\\1/12&0&0\\-11/24&9/4&1\end{array}\right]$

-8/57f₃

$=\left[\begin{array}{ccc}1&0&9/8\\0&1&1/4\\0&0&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1/24&1/4&0\\1/12&0&0\\11/171&-6/19&-8/57\end{array}\right]$

f₁-9/8f₃

f₂-1/4f₃

$=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}-7/228&23/38&3/19\\23/342&3/38&2/57\\11/171&-6/19&-8/57\end{array}\right]$

siendo la matriz inversa:

$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}-7/228&23/38&3/19\\23/342&3/38&2/57\\11/171&-6/19&-8/57\end{array}\right]$

Método del determinante;

det(A) = -12[(-68)-(-45)]+3[4-(-18)]

det(A) = 276 + 66

det(A) = 342

Matriz de adjunta es transponer la matriz de cofactores;

Ver el calculo en la imagen.

$Matriz cofactores=\left[\begin{array}{ccc}-39&23&22\\207&27&-108\\54&12&-48\end{array}\right]$

$Adj=\left[\begin{array}{ccc}-39&207&54\\23&27&12\\22&-108&-48\end{array}\right]$

A⁻¹ = Adj/det(A)

$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}-7/228&23/38&3/19\\23/342&3/38&2/57\\11/171&-6/19&-8/57\end{array}\right]$

Comprobar

A ·A⁻¹ = I

$A.A^{-1} =\left[\begin{array}{ccc}0&12&3\\4&2&5\\-9&1&-17\end{array}\right] .\left[\begin{array}{ccc}-7/228&23/38&3/19\\23/342&3/38&2/57\\11/171&-6/19&-8/57\end{array}\right]$

$A.A^{-1} =\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] .$