Question

Dada la siguiente figura, usa la ley de los cosenos para resolver en tu cuaderno cada
uno de los triángulos de acuerdo a los datos; además, calcula el área de cada uno de los
triángulos.
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Answer 1

Al resolver cada triángulo se obtiene:

1. γ = 65°   ; a = 5  ; b = 8

Aplicar la ley del coseno;

c² = a² + b² - 2ab Cos(γ)

Despejar c;

c = √[(5)² + (8)² - 2(5)(8) Cos(65°)]

c = 7.42  

β =  (a² + c² - b²)/ 2ac

β =  Cos⁻¹[(5)² + (7.42)² - (8)²]/ 2(7.42)(5)

β =  77.5°

La suma de los ángulos internos de todo triángulo es 180°;

α = 180° - 65° - 77.5°

α = 37.5°

Para determinar la altura h, se forma un triángulo rectángulo;

180° = γ + θ

θ = 180° - 65°

θ = 115°

Aplicar razón trigonométrica;

Sen(115°) = h/b

h = 8 Sen(115°)

h = 7.25

El área es: A = (a × h)/2

A = (5 × 7.25)/2

A₁ = 18.125 u²

2. β= 48° ; a = 7 ; c = 6

Aplicar ley del coseno;

b² = a² + c² - 2ac Cos(β)

sustituir;

b = √[7² + 6² - 2(7)(6) Cos(48°)]

b = 5.36

α =  Cos⁻¹[(b² + c² - a²)/ 2bc]

α =  Cos⁻¹[((5.36)² + 6² - 7²)/ 2(5.36)(6)]

α = 75.84°

γ = 180° - 48° - 75.84°

γ = 56.16°

Aplicar razón trigonométrica;

Sen(180°-56.16°) = h/b

h = 5.36 Sen(123.84°)

h = 4.45

El área es: A = (a × h)/2

A = (7 × 4.45)/2

A₂ = 15.6 u²

 

3. a = 8 ; b = 10 ; c = 7

β =  (a² + c² - b²)/ 2ac

β =  Cos⁻¹[(8)² + (7)² - (10)²]/ 2(8)(7)

β =  83.33°

α =  Cos⁻¹[(b² + c² - a²)/ 2bc]

α =  Cos⁻¹[(10² + 7² - 8²)/ 2(10)(7)]

α = 52.6°

γ = 180° - 83.33° - 52.6°

γ = 44.07°

Aplicar razón trigonométrica;

Sen(180°-44.07°) = h/b

h = 10 Sen(135.93°)

h = 6.95

El área es: A = (a × h)/2

A = (8 × 6.95)/2

A₃ = 27.8 u²

4. γ = 31.5°; a = 4; b = 8

c = √[a² + b² - 2ab Cos(γ)]

c = √[(4)² + (8)² - 2(4)(8) Cos(31.5°)]

c = 5.04

β =  (a² + c² - b²)/ 2ac

β =  Cos⁻¹[(4)² + (5.04)² - (8)²]/ 2(4)(5.04)

β =  124.08°

α = 180° - 31.5° - 124.08°

α = 24.42°

Aplicar razón trigonométrica;

Sen(180°-31.5°) = h/b

h = 8 Sen(148.5°)

h = 4.18

El área es: A = (a × h)/2

A = (4 × 4.8)/2

A₄ = 9.6 u²

5. γ = 97.33°; a = 3; b = 6

c = √[a² + b² - 2ab Cos(γ)]

c = √[3² + 6² - 2(3)(6) Cos(97.33°)]

c = 7.04

β =  (a² + c² - b²)/ 2ac

β =  Cos⁻¹[(3)² + (7.05)² - (6)²]/ 2(3)(7.04)

β =  57.71°

α = 180° - 97.33° - 57.71°

α = 24.96°

Aplicar razón trigonométrica;

Sen(180°-97.33°) = h/b

h = 6 Sen(82.67°)

h = 5.95

El área es: A = (a × h)/2

A = (3 × 5.95)/2

A₅ = 8.925 u²

6. a = 7; b = 9; c = 4

β =  (a² + c² - b²)/ 2ac

β =  Cos⁻¹[(7)² + (4)² - (9)²]/ 2(7)(4)

β =  106.6°

α =  Cos⁻¹[(b² + c² - a²)/ 2bc]

α =  Cos⁻¹[(9² + 4² - 7²)/ 2(9)(4)]

α = 48.2°

γ = 180° - 106.6° - 48.2°

γ = 25.2°

Aplicar razón trigonométrica;

Sen(180°-25.2°) = h/b

h = 9 Sen(154.8°)

h = 3.83

El área es: A = (a × h)/2

A = (7 × 3.83)/2

A₆ = 13.4 u²

7. a = 11; b = 9.5; c = 8.2

β =  (a² + c² - b²)/ 2ac

β =  Cos⁻¹[(11)² + (8.2)² - (9.5)²]/ 2(11)(8.2)

β =  57.1°

α =  Cos⁻¹[(b² + c² - a²)/ 2bc]

α =  Cos⁻¹[(9.5)² + (9.8)² - 11²/ 2(9.5)(8.2)]

α = 76.45°

γ = 180° - 57.1° - 72.45°

γ = 50.45°

Aplicar razón trigonométrica;

Sen(180°-50.45°) = h/b

h = 9.5 Sen(129.55°)

h = 7.32

El área es: A = (a × h)/2

A = (11 × 7.32)/2

A₇ = 40.26 u²

8. α = 162°; b = 11; c =8

a= √[b² + c² -  2bc Cos(α)]

a = √[11² + 8² -  2(11)(8) Cos(162°)]

a = 18.77

β =  (a² + c² - b²)/ 2ac

β =  Cos⁻¹[(18.77)² + (8)² - (11)²]/ 2(18.77)(8)

β =  10.47°

γ = 180° - 162° - 10.47°

γ = 7.53°

Aplicar razón trigonométrica;

Sen(180°-7.53°) = h/b

h = 10 Sen(172.47°)

h = 1.31

El área es: A = (a × h)/2

A = (11 × 1.3)/2

A₈ = 7.2  u²