Question

Dada la siguiente ecuación:
Donde W es el trabajo, t es el tiempo, A es el área, X es la masa, Y es la densidad volumetrica, g es la aceleración de la gravedad y L es la longitud, determine:
a) El valor numérico de a para que la ecuación sea dimensional mente correcta.
b) El valor numérico de b para que la ecuación sea dimensional mente correcta.
c) El valor numérico de c para que la ecuación sea dimensional mente correcta.

Answer 1

Para lograr encontrar los valores numéricos para que la ecuación sea dimensionalmente correcta hay que sustituir el valor de las unidades de cada magnitud.

Los valores numéricos son:

a= 4

b=-3

c=-1

Teniendo en cuenta que :

• W: Julios: N m
• t: Segundos
• A: metros cuadrados
• Y: kilogramos por metros cúbicos
• g: metros por segundos cuadrados
• L: metros

Formamos la ecuación con las unidades que representa cada magnitud.

$\frac{J s^{2}}{m^{2}}= \frac{Nms^{2}}{m^{2}}=\frac{kg^{a}(kg/m^{3})^{b}}{cos(m/s^{2}s^{2} m^{c})}$

Primero vemos que para que la operación del coseno funcione, no deben existir unidades dentro de su argumento.

Por lo tanto para que se cancelen las unidades c=-1.

Luego del lado izquierdo tenemos:

$\frac{Nms^{2}}{m^{2}}=\frac{(kgm^{2}/s^{2})s^{2}}{m^{2}}=kg$

Para que la igualdad sea dimensionalmente igual.

[$\frac{W t^{2}}{A}=x^{a} y^{b}$

Es decir:

$kg= kg^{a} (\frac{kg}{m^{3}})^{b}$

Para que esto se cumpla a=4 y b=-3

De esta manera

$kg= kg^{4} (\frac{kg}{m^{3}})^{-3}= kg^{4} \frac{kg^{-3} }{m^{3-3}}=kg^{4} \frac{kg^{-3} }{m^{0}}$

Entonces:

$m^{0}=1$

$kg=\frac{kg^{4}}{kg^{3}}=kg$