Dada la siguiente cónica: 2y2−5y+x−4=0
a) Determine sus elementos principales incluidas la o las directrices
b) Realice su representación en el plano cartesiano
Respuestas a la pregunta
La parábola en estudio tiene ecuación general: 2y² - 5y + x - 4 = 0
Es una parábola de eje horizontal cuya ecuación canónica es de la forma:
(y - k)² = ± 4p (x - h)
donde:
(h, k) es el vértice de la parábola
4p es la longitud del lado recto
p es la distancia, medida sobre el eje de la parábola, vértice-directriz y vértice-foco.
Para expresar la parábola dada en ecuación canónica aplicamos completación de cuadrados
2y² - 5y + x - 4 = 0 ⇒ 2[y² - (5/2)y] = 4 - x ⇒
2[(y - 5/4)² - 25/16] = 4 - x ⇒ 2(y - 5/4)² = 57/8 - x ⇒
(y - 5/4)² = -1/2 (x - 57/8)
Esta es la ecuación canónica de la parábola. Los elementos son:
Eje horizontal de la parábola: y = 5/4
Vértice: (57/8, 5/4)
Sentido de abertura: sentido negativo, hacia la izquierda
Distancia vértice-foco y vértice directriz: p = 1/2
Foco: (57/8 - 1/2, 5/4) = (53/8, 5/4)
Directriz: x = 57/8 + 1/2 ⇒ x = 61/8
En anexos se observa la gráfica.
