Question

Dada la recta que pasa por los puntos A ( − 1 ; 3 ; − 2 ) y B ( − 1 ; 4 ; 5 ) . Determine el punto de intersección de está recta con los planos XZ

Answer 1

Respuesta:

la respuesta es (-1;0;-23)

Explicación paso a paso:

Answer 2

El punto de intersección de esta recta con el plano XZ es P( -1 , 0 , -23 )

¿Cómo hallo la intersección enre una recta y un plano coordenado?

Determinamos la ecuación vectorial paramétrica de la recta. Para esto, necesitamos un punto perteneciente a la recta (A o B), y un vector director, el cual puede ser el vector que va de A a B:

$\overrightarrow {AB} =(-1,4,5)-(-1,3,-2) = (0,1,7)$

La ecuación vectorial paramétrica de la recta es, entonces:

$L:P = A + \alpha \overrightarrow {AB}\\\\L: (x,y,z) = (-1,3,-2) + \alpha (0,1,7)$

La ecuación general del plano coordenado XZ es:

$\pi :y=0$

Dicho esto, despejaremos la coordenada y de la ecuación paramétrica de la recta:

$L: (x,y,z) = (-1,3,-2) + \alpha (0,1,7)\\\\y = 3 +1\alpha$

Y ahora introduciremos la ecuación que acabamos de obtener en la ecuación general del plano.

$y = 3 +1\alpha \rightarrow y=0\\\\3+1\alpha =0\\\\\alpha =-3$

El valor del parámetro $\alpha$ que hallamos nos dirá cuál es el punto perteneciente a la recta, que también se encuentra en el plano XZ. Lo introducimos en la ecuación paramétrica de la recta:

$L: (x,y,z) = (-1,3,-2) + \alpha (0,1,7) = (-1 +0 \alpha, 3 + \alpha , -2 + 7\alpha )\\\\(x,y,z) =[-1+0(-3),3+(-3),-2+7(-3)]\\\\(x,y,z)=(-1,0,-23)$

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