dada la parábola f ( x ) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. encuentra la ecuación de la recta tangente y normal en dichos puntos
Respuestas a la pregunta
Respuesta:La bisectriz del primer cuadrante tiene de ecuación y = x, por tanto m = 1.
Derivamos la ecuación de la parábola, pues sabemos que la derivada nos indica la pendiente
f'(x) =2x
e igualamos a 1 y despejamos para calcular el valor de x en el que ocurre esto
\displaystyle 2x=1 \hspace{2cm} x=\frac{1}{2}
Evaluamos la función original en este punto \displaystyle x=\frac{1}{2}
\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}
Entonces
\displaystyle \text{Punto} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)
2Recta tangente
\displaystyle \text{Punto} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)
\text{Pendiente} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} m=1
\displaystyle \text{Ecuaci\'on de la recta} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} y-\frac{1}{4}=x-\frac{1}{2} \hspace{.5cm} y=x-\frac{1}{4}
recta tangente representación gráfica
3Recta normal
\displaystyle \text{Punto} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)
\displaystyle \text{Pendiente} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} m_n=-\frac{1}{m_t}=-\frac{1}{1}=-1
\displaystyle \text{Ecuaci\'on de la recta} \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} y-\frac{1}{4}=-\left(x-\frac{1}{2}\right) \hspace{.5cm} y=-x+\frac{1}{4}
Explicación paso a paso: