Question

Dada la función f(x)= x2-2, represéntela gráficamente y encuentre el área en el intervalo ⌈1,6⌉ usando el método de sumas.

Answer 1

Tenemos la función dada $f(x) = x^2 -2$ debemos representarla gráficamente y encontrar el área en el intervalo [1,6] usando el método de sumas el cual seria $\frac{185}{3} = 61.666$

Vamos a resolver paso a paso

1. Vamos a identificar nuestros valores dados con el método de sumas, la fórmula de métodos de sumas es la siguiente
   
   $\lim_{n \rightarrow \infty}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n f(a+k\Delta x)\Delta x$
   
   Tenemos que $b=6$ y $a=1$  donde $\Delta x$ = $\frac{b-a}{n} = \frac{5}{n}$, ahora vamos a sustituir en la fórmula
   
   $\lim_{n \rightarrow \infty}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n f(1+\frac{5k}{n} )^2\frac{5}{n}$
2. Evaluamos la expresión en dicha función
   
   $\lim_{n \rightarrow \infty}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n f(1+\frac{5k}{n} )^2\frac{5}{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n ((1+\frac{5k}{n} )^2-2)\frac{5}{n}$
   
3. Ahora vamos a desarrollar la expresión
   
   $\lim_{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n (\frac{25k}{n^2}+\frac{10k}{n}-1)\frac{5}{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n \frac{125k^2+50kn-5n^2}{n^3}$
   
4. Vamos a evaluar la sumatoria para luego resolver los límites
   
   $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{183}{3} +\frac{175}{2n} +\frac{125}{6n^2} = \frac{185}{3} = 61.666$
   
   

¿Qué es el método de sumas?

El método de sumas consiste en una aproximación del área bajo la curva, al dividirla en varias formas simples (tales como rectángulos o trapecios) la formula esta dada por

                               $\lim_{n \rightarrow \infty}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n f(a+k\Delta x)\Delta x$

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