Question

Dada la funcion f(x) = 3 ln x / x^3+1
calcular f'(1)
Es un ejercicio de derivadas , ayuda porfavor con desarollo si es posible:) !!

Answer 1

            (3 lnx)' (x³+1) - (3 lnx) (x³+1)'
f'(x) = ------------------------------------------ =
                               (x³+1)²

   3/x(x³+1) - (3 lnx) (3x²)      3x²+ 3 - 9 lnx x²
= ------------------------------- = ------------------------
               (x³+1)²                            (x³+1)²


            3×1²+ 3 - 9 ln1 × 1²      3 + 3 -9×0×1      6
f'(1) = ----------------------------- = ------------------ =  --- = 3
                    (1³+1)²                             2                 2   

Answer 2

Hola,

Hay varias formas de hacer esta derivada,lo haré con la derivada del producto :

$(fg)' = f' \cdot g + f \cdot g'$

Para esto tienes que saber las derivadas básicas :

$\frac{d(x^{n})}{dx} = nx^{n-1}$

$\frac{d(ln x)}{dx} = \frac{1}{x}$

Sabiendo esto, reescribamos f(x):

f(x) = (3lnx) * (x³ + 1)⁻¹

Tomamos,

f = 3lnx
g = (x³ + 1)⁻¹

Entonces,

$f'(x) = (fg)' = \frac{3}{x(x^{3}+1)} - 3lnx(x^{3}+1)^{-2} \cdot 3x^{2} \\ \\ f'(x) = \frac{3}{x(x^{3}+1)} - \frac{9x^{2}lnx}{(x^{3}+1)^{2}}$

Evaluando en 1 :

$f'(1) = \frac{3}{1(1^{3}+1)} - \frac{9\cdot 1^{2}ln1}{(1^{3}+1)^{2}} \\ \\ \boxed{f'(1) = \frac{3}{2} }$

Implícitamente ocupé la regla de la cadena para calcular la derivada de (x³+1)⁻¹, quizás no hayas visto esa regla , por eso también lo haré con la derivada de la división,obviamente debe dar lo mismo :

Sea,
f(x) = f/g 
f = 3lnx
g = x³ + 1

La derivada de la división está dada por :

$( \frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^{2}}$

Luego sustituyendo por las expresiones que tenemos, nos da la derivada :

$f'(x) = (\frac{f}{g}) ' = \frac{ \frac{3}{x}\cdot (x^{3}+1) - 3lnx\cdot(3x^{2}) }{(x^{3}+1)^{2}} \\ \\ f'(x) = \frac{3}{x(x^{3}+1)} - \frac{9x^{2}lnx}{(x^{3}+1)^{2}}$

Evaluamos nuevamente y ,


$\boxed{f'(1) = \frac{3}{2}}}$

Salu2 :).