Question

Dada la función f(x)=2(6-x) ^(5/3) en el intervalo [6 ,8]. Verifique que la función satisface las hipótesis del Teorema de Valor Medio en el intervalo dado, luego encuentre los valores de c que satisfacen el Teorema.

Answer 1

El valor de c que cumple con el teorema del valor medio es $c=6+2\sqrt{\frac{27}{125}}$

Explicación paso a paso:

Para que la función cumpla con las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [6,8], ella tiene que ser continua y derivable en dicho intervalo. Escribiendo la función de otra forma queda:

$f(x)=2\sqrt[3]{(6-x)^5}$

Tanto la función raíz cúbica como la función polinómica están definidas para todos los reales, por lo que la función es continua. Su derivada es:

$f'(x)=\frac{5}{3}.2(6-x)^{\frac{5}{3}-1}=\frac{10}{3}(6-x)^{\frac{2}{3}}=\frac{10}{3}\sqrt[3]{(6-x)^2}$

La derivada de la función también está definida para todos los reales por lo que la función es derivable en el intervalo, el valor x=c que satisface el teorema es:

$f'(c)=\frac{f(8)-f(6)}{8-6}=\frac{2(6-8)^{\frac{5}{3}}-2(6-6)^{\frac{5}{3}}}{8-6}\\\\\frac{10}{3}(c-6)^{\frac{2}{3}}=\frac{2\sqrt[3]{32}}{2}\\\\\frac{10}{3}(c-6)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{32}\\\\(c-6)^{\frac{2}{3}}=\frac{3}{10}.32^{\frac{1}{3}}\\\\c-6=(\frac{3}{10})^{\frac{3}{2}}.32^{\frac{1}{3}\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{27}{1000}}\sqrt{32}=\sqrt{32\frac{27}{1000}}=\sqrt{4\frac{27}{125}}\\\\c=6+2\sqrt{\frac{27}{125}}$