Question

dada la funcion f(t)=-t^3+2t^2+5t-3
Determine
a.$\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$
b.El resultado si h tiende a 0

Answer 1

El literal a) junto con el literal b) es la definición de derivada....entonces veamos que se puede hacer...

voy a unir el literal a) con el b)..porque los dos son un mismo paso...

$\lim_{h \to \(0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{-(x+h)^{3}+2(x+h) ^{2}+5(x+h)-3 +x^{3}-2 x^{2} -5x+3 }{h} ...=$

Ahora para desarrollar el binomio al cubo usamos el siguiente producto notable

$(x+h) ^{3} = x^{3} +3 x^{2} h+ x h^{2} + h^{3} \\ (x+h) ^{2} = x^{2} +2xh+ h^{2}$
entonces nos quedaría

$...=\frac{-(x+h)^{3}+2(x+h) ^{2}+5(x+h)-3 +x^{3}-2 x^{2} -5x+3 }{h}=... \\ \\...= \frac{-( x^{3} +3 x^{2} h+ 3x h^{2}+ h^{3} )+2( x^{2} +2xh+ h^{2} ) +5(x+h)-3 +x^{3}-2 x^{2} -5x+3 }{h}=... \\ \\ ...= \frac{- x^{3} -3 x^{2} h- 3x h^{2}- h^{3}+2 x^{2} +4xh+ 2h^{2} +5x+5h-3 +x^{3}-2 x^{2} -5x+3 }{h}=... \\ \\ ...= \frac{ -3 x^{2} h- 3x h^{2}- h^{3} +4xh+ 2h^{2} +5h }{h}= \frac{(h)( -3 x^{2} - 3x h- h^{2} +4x+ 2h +5 ) }{h}=... \\ \\ ...=( -3 x^{2} - 3x h- h^{2} +4x+ 2h +5 )$

Fíjate que solo hemos desarrollado por binomios y simplificado algunos términos semejantes....luego sacamos de factor común la "h"...y se simplifica con el denominador...ahora sí podemos calcular ese límite...


$\lim_{h \to \(0} ( -3 x^{2} - 3x h- h^{2} +4x+ 2h +5 )= ... \\ \\ ...=-3 x^{2} - 3x (0)- (0)^{2} +4x+ 2(0) +5 =-3 x^{2} +3x+5$

Y ya...fíjate que pudimos haber derivada con la fórmula que ya conocemos...en ves de todo éste procedimiento...jaja...Pero bueno siempre es bueno que sepas usar la definición de derivada...porque aveces no te acuerdas de alguna derivada entonces...aplicando éste me´todo siempre podemos hallar la derivada...claro..es largo...y tienes que usar todas las herramientas que sepas...identidades trigonométricas, álgebra...leyes de exponentes..todo lo que sepas para poder eliminar la "h" del denominador que es la que nos fastidia....

y eso sería todo