Question

Dada la función f: R − {−

3

7

} → R − {−

2

7

} , donde f(x) =

2x−7

7x+3

determine: a) Si la función

es biyectiva. b) La inversa de ser posible c)determinar si es creciente ò decreciente

porfavor ayudenme con esta tarea muchisimas gracias

Answer 1

Partiendo de la función f(x) se determina:

a) Es una función biyectiva

b) Se puede calcular su inversa: $f^{-1} =\frac{-7-3x}{7x-2}$

c) Ver la gráfica.

Explicación paso a paso:

Datos;

Dada la función f:

• Dom f: R − {−3/7}
• Ran f:  R − {2/7}

donde;

$f(x)=\frac{2x-7}{7x+3}$

determine:

a) Si la función  es biyectiva

Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva es decir cada elemento del dominio tiene una única imagen en el rango.

función f(x) inyectiva;

f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂

sustituir;

$\frac{2x_1-7}{7x_1+3} = \frac{2x_2-7}{7x_2+3} \\(2x_1 - 7)(7x_2+3) = (2x_2-7)(7x_1+3)\\ 14x_1x_2 + 6x_1 - 49x_2-21=14x_1x_2+6x_2-49x_1-21\\6x_1 - 49x_2=6x_2-49x_1\\55x_1=55x_2\\x_1=x_2$

función f(x) sobreyectiva;

y = f(x) ⇒ f(x) = y

sustituir;

$y=\frac{2x-7}{7x+3} \\\\y(7x+3)=(2x-7)\\\\7xy+3y = 2x-7\\\\7xy - 2x = -7 -3y\\\\x(7y-2) = -7 -3y\\\\x = \frac{-7-3y}{7y-2}$

sustituir;

$f(x) = \frac{2(\frac{-7-3y}{7y-2})-7}{7(\frac{-7-3y}{7y-2})+3} \\\\f(x) = \frac{\frac{-14-6y}{7y-2}-7}{\frac{-49-21y}{7y-2}+3}\\\\f(x)= \frac{\frac{-14-6y-7(7y-2)}{7y-2}}{\frac{-49-21y+3(7y-2)}{7y-2}}\\\\f(x)= \frac{-14-6y-49y+14)}{-49-21y+21y-6}\\\\f(x)= \frac{-6y-49y}{-49-6}\\\\f(x) = \frac{-55y}{55} \\\\f(x)= y$

Queda demostrado que la función f(x) es biyectiva.

b) La inversa de ser posible

Para determinar que la función es inversa debe ser inyectiva lo cual fue probado en el apartado anterior;

$y=\frac{2x-7}{7x+3} \\\\y(7x+3)=(2x-7)\\\\7xy+3y = 2x-7\\\\7xy - 2x = -7 -3y\\\\x(7y-2) = -7 -3y\\\\x = \frac{-7-3y}{7y-2}$

Sustituir y por x;

$f^{-1}= y =\frac{-7-3x}{7x-2}$