Question

Dada la elipse en su forma general. Obtener la ecuación en su forma ordinaria, sus elementos y bosquejar su gráfica. 8x^2+4y^2+16x-12y-15=0.
4x^2+9y^2-8x-32=0

Answer 1

Las ecuaciones ordinarias y elementos que componen a cada elipse son:

Para: 8x² + 4y² + 16x - 12y - 15=0

• Ec. Ord. (x + 1)²/4 + (y - 3/2)²/8 = 1
• Focos: F(-1; -1/2); F'(-1; 7/2)
• Vértices: V(-1; 7/2); V'(-1, -1/2)
• Centro: c(-1, 3/2)
• Ejes mayor y menor: 4 y 2√8

Para: 4x² + 9y² - 8x - 32 = 0

• Ec. Ord. (x - 1)²/9 + y²/4  = 1
• Focos: F(1 + √5; 0); F'(1 - √5; 0)
• Vértices: V(4;0); V'(-2, 0)
• Centro: c(1, 0)
• Ejes mayor y menor: 6 y  4

Un elipse se caracteriza por tener la siguiente ecuación ordinaria:

• (x - h)²/b² + (y - k)²/a² = 1
• (x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1

Elementos de la elipse:

• focos: F, F'
• vértices: V, V'
• centro: c(x₀, y₀)
• eje mayor: 2a
• eje menor: 2b

8x² + 4y² + 16x - 12y - 15=0

Completar cuadrados;

8x² + 16x = 8(x² + 2x + 1) = 8(x + 1)²

4y² - 12y = 4(y² - 3y + 9/4) = 4(y - 3/2)²

Sumar a ambos lados los números que se agregaron;

8(x + 1)² + 4(y - 3/2)² = 15 + 8 + 9

8(x + 1)² + 4(y - 3/2)² = 32

Multiplicar por 1/32;  

8(x + 1)²/32 + 4(y - 3/2)²/32 = 32/32

(x + 1)²/4 + (y - 3/2)²/8 = 1

• b = 2    
• a = 2√2

Elementos

Focos: F(x₀; y₀+ c); F'(x₀; y₀ - c)

c² = a² - b²

c = √(8 - 4)

c = 2

sustituir;

F(-1; 3/2 - 2); F'(-1; 3/2 + 2)

F(-1; -1/2); F'(-1; 7/2)

Vértices: V(x₀, y₀+ a); V'(x₀, y₀ - a)

sustituir;

V(-1; 3/2 + 2√2); V'(-1, 3/2 - 2√2)

V(-1; 4.328); V'(-1, -1.328)

Centro: c(-1, 3/2)

Eje mayor y menor:

mayor: 2a = 2(2) = 4

menor: 2b = 2√8

4x² + 9y² - 8x - 32 = 0

Completar cuadrados;

4x² - 8x  = 4(x² - 2x + 1) = 4(x + 1)²

9y²

Sumar a ambos lados los números agregados;

4(x + 1)² + 9y²  = 32 + 4

4(x + 1)² + 9y²  = 36

Multiplicar por 1/36;

4(x + 1)²/36+ 9y²/6  = 1

(x - 1)²/9 + y²/4  = 1

Elementos

Focos: F(x₀+ c; y₀) ; F'(x₀ - c; y₀)

c² = a² -b²

c = √(9 - 4)

c = √5

sustituir;

F(1 + √5; 0); F'(1 - √5; 0)

Vértices: V(x₀+ a, y₀); V'(x₀ - a, y₀)

sustituir;

V(1 + 3; 0); V'(1 - 3; 0)

V(4;0); V'(-2, 0)

Centro: c(-1, 3/2)

Eje mayor y menor:

mayor: 2a = 2(3) = 6

menor: 2b = 2(2) = 4