Question

Dada la ecuación: x² - 8x + Q = 0 calcular "Q" para que: 3x₁ - 4x2 = 3,
siendo x₁ y x₂ las raíces de dicha ecuación.

Answer 1

Respuesta:

Q = 15

Explicación paso a paso:

Aplicando la formula general:

$x = \frac{-b +- \sqrt{b^{2} - 4ac } }{2a}$

En la ecuación dada x² - 8x + Q = 0:

a = 1

b = -8

c = Q

Sustituyendo en la ecuación y resolviendo:

$x = \frac{-(-8) +- \sqrt{(-8)^{2} - 4(1)(Q) } }{2(1)}$

$x = \frac{8 +- \sqrt{64 - 4Q } }{2}$

Sacando al 4 como factor común dentro del radical:

$x = \frac{8 +- \sqrt{4(16 - Q)} }{2}$

Como la radicación es distributiva con relación a la multiplicación, puedo sacar la raiz del 4, que es 2 y dejar la otra cantidad dentro del radical:

$x = \frac{8 +- 2\sqrt{16 - Q} }{2}$

Vuelvo a sacar factor común, pero en este caso del numerador completo:

$x = \frac{2(4 +- \sqrt{16 - Q} )}{2}$

Elimino el 2 del numerador con el 2 del denominador:

$x = {4 +- \sqrt{16 - Q} }$

Las raices son las siguientes:

$x1 = {4 + \sqrt{16 - Q} }$

$x2 = {4 - \sqrt{16 - Q} }$

Sustituimos las raices en la expresión 3x₁ - 4x2 = 3 y desarrollamos:

$3({4 + \sqrt{16 - Q} }) - 4({4 - \sqrt{16 - Q} }) = 3$

${12 + 3\sqrt{16 - Q} } -{16 + 4\sqrt{16 - Q} } = 3$

Sumando algebraicamente los terminos semejantes en la parte izquierda de la ecuación:

${-4 + 7\sqrt{16 - Q} } = 3$

${7\sqrt{16 - Q} } = 3 + 4$

${\sqrt{16 - Q} } = \frac{7}{7}$

${\sqrt{16 - Q} } = 1$

Aplicando potencia a ambos lados de la ecuación para eliminar el radical:

$({\sqrt{16 - Q} })^{2} =(1)^{2}$

$16 - Q = 1$

$- Q = 1 - 16$

$- Q = -15$

Multiplicando por -1:

$(- Q = -15) ( -1)$

$Q = 15$

Ahora vamos a demostrar que todo esto es cierto:

Encontrando las raices:

$x1 = {4 + \sqrt{16 - Q} } = 4 + \sqrt{16-15} = 4+\sqrt{1} = 4+1 = 5$

$x1 = 5$

$x2 = {4 - \sqrt{16 - Q} } = 4 - \sqrt{16-15} = 4-\sqrt{1} = 4-1 = 3$

$x2 = 3$

Vamos a comprobar que esas son las raices, sustituyendolas en la ecuación. Si se cumple la igualdad a cero, son las raices.

Ya sabemos que Q = 15.

x² - 8x + 15 = 0

con x1 = 5:

$5^{2} - 8(5) + 15 = 0$

$25 - 40 + 15 = 0$

$40 - 40 = 0$

con x2 = 3:

$3^{2} - 8(3) + 15 = 0$

$9 - 24 + 15 = 0$

$24 - 24 = 0$