Question

Dada la ecuación de una superelipse (x/3)^4+(y/4)^4=1, siendo a y b los ejes de la figura.
a). Determinar la derivada dy/dx , cuando x = 1
b). Determinar la ecuación de la recta tangente a la superelipse en el punto de abscisa x=1 ​

Answer 1

Cuando  x  =  1  la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la superelipse en ese punto viene dada por la derivada evaluadads en ese punto; es decir,

$\bold{\frac {dy}{dx}=-\frac{1}{6\sqrt[4]{125}}}$  

y la ecuación de la recta tangente es

$\bold{y=-\frac{1}{6\sqrt[4]{125}}x+ \frac{27}{2\sqrt[4]{125}}}$

Explicación paso a paso:  

Vamos a derivar implicitamente la expresión para hallar  dy/dx.  Luego evaluamos la función y la derivada cuando    x  =  1    para hallar la pendiente de la recta tangente y el punto de tangencia. Con esa información construiremos la ecuación de la recta tangente solicitada.

a) Determinar la derivada  dy/dx ,  cuando    x  =  1  

Derivando la superelipse término a término con respecto a  x

$\frac{4(x)^3}{(3)^4}+\frac{(y)^3}{(4)^3}\frac{dy}{dx}=0 \qquad \Rightarrow$  

$\bold{\frac {dy}{dx}=- \frac{\frac{4(x)^3}{(3)^4}}{\frac{(y)^3}{(4)^3}}=- \frac{(4)^4 (x)^3}{(3)^4 (y)^3}}$  

Evaluando la superelipse y la derivada cuando  x = 1

$\frac{(1)^4}{(3)^4}+\frac{ (y)^4}{(4)^4}=1 \qquad \Rightarrow \qquad y= \frac{8 \sqrt[4]{5}}{3}$  

$\bold{\frac {dy}{dx}=-\frac{1}{6 \sqrt[4]{125}}}$  

b) Determinar la ecuación de la recta tangente a la superelipse en el punto de abscisa    x  =  1

La pendiente  m  de la recta tangente se calcula evaluando la función derivada en el punto de tangencia.

La ecuación punto-pendiente de la recta, de pendiente m y que pasa por el punto (x₁, y₁), viene dada por:  

$(y - y_{1})=m(x-x_{1})$  

En este caso, la ecuación de la recta tangente es:

$(y-frac{8 \sqrt[4]{5}}{3})=-\frac{1}{6 \sqrt[4]{125}} (x-1) \qquad \Rightarrow$  

$\bold{y=-\frac{1}{6 \sqrt[4]{125}}x+ \frac{27}{2 \sqrt[4]{125}}}$