Question

Dada la ecuación de la siguiente hipérbola determinar: centro, vértices, focos y asíntotas. 4y2 – 16x2 – 48x – 4y 1 = 0.

Answer 1

Respuesta:

Centro: (-3/2, 1/2)

Vértices:  V1= (-3, 1/2)    y    V2= (0, 1/2)

Focos:   F1= ((-3 + √45)/2, 1/2)   y  F2= ((-3 - √45)/2, 1/2)

Asíntotas:   A1= 2x + 7/2   y   A2= -2x - 5/2

Explicación paso a paso:

Sea la hipérbola: 4y² – 16x² – 48x – 4y + 1 = 0. Para saber el centro de la figura, hacemos un completado de cuadrados, es decir:

4y² – 16x² – 48x – 4y + 1 = 0

4y² - 4y - 16x² - 48x + 1 = 0

4y² - 4y - (16x² + 48x) + 1 = 0

4(y² - y) - 16(x² + 3x) + 1 = 0

Haciendo el completado de cuadrados (Este método consiste en dividir la constante b entre 2, de una ecuación de la forma: x² + bx  o  x² - bx, y luego lo que obtenemos, lo elevamos al cuadrado, y lo que se obtiene lo sumamos y lo restamos para que se mantenga la consistencia. NOTA: Lo ultimo puede no entenderse del todo claro, pero esto se vera mejor en lo siguiente):

4(y² - (1)y) - 16(x² + (3)x) + 1 = 0

Para (y² - (1)y), aplicando el método:

(-1)/2 = - 1/2

(-1/2)² = 1/4

Y para (x² + (3)x), aplicando el método:

3/2= 3/2

(3/2)²= 9/4

Así:

4(y² - (1)y + 1/4 - 1/4) - 16(x² + (3)x + 9/4 - 9/4) + 1 = 0

Por lo que:

4((y - 1/2)² - 1/4) - 16((x + 3/2)² - 9/4) + 1 = 0

----> pues y² - (1)y + 1/4 = (y - 1/2)²   y   x² + (3)x + 9/4= (x + 3/2)²

4(y - 1/2)² - 1 - 16(x + 3/2)² + 36 + 1 = 0

4(y - 1/2)² - 16(x + 3/2)² + 36 = 0

4(y - 1/2)² - 16(x + 3/2)² = -36

Aquí dividimos toda la ecuación sobre -36, ya que la parte izquierda debe de ser forzosamente 1:

(4(y - 1/2)² - 16(x + 3/2)² = -36) / (-36)

(-1/9)*(y - 1/2)² - (-4/9)(x + 3/2)² = 1

-((y - 1/2)²)/9 + (4*(x + 3/2)²)/9 = 1

Expresándola en su forma canónica:

(4*(x + 3/2)²)/9 - ((y - 1/2)²)/9  = 1

((x + 3/2)²)/(9/4) - ((y - 1/2)²)/9  = 1

((x + 3/2)²)/(3/2)² - ((y - 1/2)²)/3²  = 1

Ya que la ecuación de la hipérbola esta en su forma canónica, con centro en (h,k):

((x-h)²)/a² - ((y-k)²)/b²

Ya podemos decir varias de sus características, una de ellas es que esta "abre" sobre el eje x, en donde el centro esta localizado en:

centro= (-3/2, 1/2)

Sus vértices son:

V1= (h + a, k)

V2= (h - a, k)

Pues "abre" sobre el eje X, así:

V1= (-3/2 + (-3/2), 1/2)

V2= (-3/2 - (-3/2), 1/2)

V1= (-3/2 - 3/2, 1/2) = (-3, 1/2)

V2= (-3/2 + 3/2), 1/2) = (0, 1/2)

V1= (-3, 1/2)

V2= (0, 1/2)

Los focos para una hipérbola que "abre" sobre el eje x, están localizados en:

F1= (h + c, k)

F2= (h - c, k)

En donde c= √(a² + b²)

Así:

c= √((3/2)² + (3)²)

c= √(9/4 + 9)

c= √(9/4 + 36/4)

c= √(45/4)

c= (√45)/2

Entonces:

F1= (-3/2 + (√45)/2, 1/2)

F2= (-3/2 - (√45)/2, 1/2)

F1= ((-3 + √45)/2, 1/2)

F2= ((-3 - √45)/2, 1/2)

Y por ultimo, las asíntotas para una hipérbola con centro en (h,k), y ademas que "abre" sobre el eje x, son:

A1= (b/a)*(x - h) + k

A2= - (b/a)*(x - h) + k

A1= (3/(3/2))*(x - (-3/2)) + 1/2

A2= - (3/(3/2))*(x - (-3/2)) + 1/2

A1= (2)*(x + 3/2) + 1/2 = 2x + 3 + 1/2 = 2x + 7/2

A2= -(2)*(x + 3/2) + 1/2 = -2x - 3 + 1/2= -2x - 5/2

A1= 2x + 7/2

A2= -2x - 5/2

Imagen de como se ve: