Question

Dada la ecuación de la parábola x^2 = −32y, encontrar las coordenadas del vértice, foco, la longitud del lado recto, la ecuación de la directriz y graficar.

Answer 1

Hola! la ecuación del problema la tienes en el formato estándar:

$(x-h)^2=-4p(y-k)$

*Donde p es la distancia del vértice a la directriz, y del foco al vértice. Y (h,k), son las coordenadas del vértice.

Comparando entonces con la ecuación del problema:

$x^2=-32y$

Se puede decir que el vértice tiene coordenadas (0,0), está en el origen. También se puede deducir que se trata de una parábola vertical negativa (porque x es la que está elevada al cuadrado, y por el signo negativo es que la parábola abra hacia abajo).

Después hallamos p, comparando la ecuación con el modelo estándar:

$-4p=-32\\\\p=\frac{-32}{-4}\\\\p=8$

Como la parábola abre hacia abajo, el foco debe estar abajo del vértice, por lo que sus coordenadas serían:

Foco: F(0,0-8) ---> F(0,-8)

La directriz es al revés que el foco, esta está arriba del vértice:

Directriz: y=0+8 ---> y=8

Y el lado recto equivale a |4p|:

Lado recto: |4p| = |4(8)| = |32| = 32

Respuesta:

Vértice: (0,0)

Foco: (0,-8)

Directriz: y=8

Lado recto: 32

Te dejo la gráfica en la imagen. Espero haberte ayudado. Saludos! Si ocupas ayuda con mas ejercicios de geometría analítica (o alguien más que lea esta pregunta), me lo puedes comentar en esta respuesta, para contestar lo antes posible!