Question

Dada la ecuación: 4x^2 − 24x + 3y = −51, determinar:
a) La ecuación ordinaria de la parábola

b) El vértice

c) Los interceptos con los ejes X e Y

d) Un bosquejo de su grafica

e) Dominio y rango.

Answer 1

a) La ecuación ordinaria de la parábola.

Completamos cuadrados

                             $\begin{array}{c}\\\sf{4x^2 - 24x + 3y = -51}\\\\\sf{4(x^2 - 6x) + 3y = -51}\\\\\sf{4\big(\underbrace{\sf{(x)^2 - 2(1)(3)x +\boldsymbol{\red{\sf{3^2}}}}}-\boldsymbol{\red{\sf{3^2}}}\big)+ 3y +51= 0}\\\\\sf{4(x -3)^2-36 + 3y + 51 = 0}\\\\\sf{4(x - 3)^2+3y + 15=0}\\\\\sf{4(x - 3)^2=-3y- 15}\\\\\sf{4(x - 3)^2=-3(y+5)}\\\\\overset{\boxed{\boxed{\boldsymbol{\sf{(x - 3)^2=\dfrac{-3}{4}(y+5)}}}}}{\sf{\vphantom{\dfrac{A}{A}}Ecuaci\acute{o}n\ ordinaria}}\end{array}$

b) El vértice.

Sea la ecuación de la parábola

                           $\sf{(x - h)^2=4p(y - k) \qquad \Rightarrow \qquad \blue{V =(h,k) }}$

Del problema

                                       $\begin{array}{c}\sf{(x- h)^2 = 4p(y - k)}\\\\\sf{(x - 3)^2=\dfrac{-3}{4}(y+5)}\\\\\sf{\big(x - \red{(3)}\big)^2=\dfrac{-3}{4}\big(y-\red{(-5)}\big)}\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{\sf{V = (3,-5)}}}}\end{array}$

c) Los interceptos con los ejes X e Y.

✎ Intercepto con el Eje x

Para determinar este intercepto hacemos que y = 0

                                            $\begin{array}{c}\\\sf{(x -3)^2=\dfrac{-3}{4}(y+5)}\\\\\sf{(x - 3)^2=\dfrac{-3}{4}(0+5)}\\\\\sf{(x - 3)^2=-\dfrac{15}{4}}\\\\\sf{x =\sqrt{-\dfrac{15}{4}}+3}\\\\\end{array}$

Al ver que nos sale números imaginarios, concluímos que no se interseca con el Eje x

✎ Intercepto con el Eje y

Para determinar este intercepto hacemos que x = 0

                                            $\begin{array}{c}\\\sf{(x - 3)^2=\dfrac{-3}{4}(y+5)}\\\\\sf{(0 - 3)^2=\dfrac{-3}{4}(y+5)}\\\\\sf{9=\dfrac{-3}{4}(y+5)}\\\\\sf{y+5=-12}\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{\sf{y=-17}}}}\end{array}$

El intercepto con el Eje y es el punto (0, -17)

d) Un bosquejo de su grafica.

Ver imagen

e) Dominio y rango.

De la imagen

    ✅ Dom f = [∞ , -∞]

    ✅ Ran f = [-5, -∞]

                                              $\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\red{O}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\red{O}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{{G}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{{G}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\red{H}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\red{H}} }\quad\raisebox{10pt}{ \sf{{E}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{{E}} }\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}$

Answer 2

Respuesta:

segun yo sale la a)

Explicación paso a paso: