Question

(D. Poisson) Enfermedades en grupos El neuroblastoma, una forma rara de cáncer, se produce en 11 niños de cada millón, por lo que su probabilidad es 0.000011. Cuatro casos de neuroblastoma ocurrieron en Oak Park, Illinois, donde había 12,419 niños.
a. Suponiendo que el neuroblastoma ocurre como es usual, encuentre el número medio de casos en grupos de 12,429 niños.
b. Usando la media no redondeada del inciso (a), determine la probabilidad de que el número de casos de neuroblastoma en un grupo de 12,429 niños sea 0 o 1.
c. ¿Cuál es la probabilidad de más de un caso de neuroblastoma?
d. ¿El grupo con cuatro casos parece atribuible a la casualidad? ¿Por qué sí o por qué no?

Answer 1

El neuroblastoma ocurre, si se toma un grupo de 12429 niños, en 0,136719 casos. Luego hay un 99,14% de probabilidades de que ninguno o 1 niño tenga neuroblastoma contra un 0,85% de tener más de un caso en la misma población. Por esto, el tener cuatro casos de neuroblastoma en el grupo de 12429 niños puede atribuirse a una causa excepcional.

Explicación:

La distribución de Poisson es una función distribución discreta que sigue la función densidad:

$f(\lambda,k)=\frac{e^{-\lambda}.\lambda^{k}}{k!}$

Donde k es un número entero positivo que representa el número de veces que ocurre un evento en la muestra bajo estudio, y λ es un parámetro positivo que representa a la media de las ocurrencias de ese evento. Y esta expresión da la probabilidad de que ocurra un evento k veces. Entonces tenemos:

a) Si el neuroblastoma ocurre como es usual, en una muestra de 12429 niños, los casos promedio son:

$\lambda=n.p(N)=12429.0,000011=0,136719$

b) La probabilidad de tener 0 casos de neuroblastoma o tener un caso es la sumatoria de las probabilidades de tener 0 casos y la probabilidad de tener un caso.

$P(0\cup 1)=P(0)+P(1)=\frac{e^{-\lambda}.\lambda^{0}}{0!}+\frac{e^{-\lambda}.\lambda^{1}}{1!}\\\\P(0\cup 1)=e^{-0,136719}+0,136719e^{-0,136719}=0,9915$

c) La probabilidad de tener más de un caso ahora se halla restando al suceso cierto, la probabilidad de tener 0 ó 1 caso:

$P(n>1)=1-P(0\cup 1)=1-0,9915=0,0085$

d) Podemos tomar definiciones a partir de tener la probabilidad de tener cuatro casos de neuroblastoma:

$P(4)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{4}}{4!}=\frac{e^{-0,136719}.0,136719^{4}}{4!}=1,27x10^{-5}$

Lo que da una probabilidad extremadamente remota de 12,7 en un millón, por lo que el grupo con cuatro casos es atribuible a un fenómeno excepcional.