Question

d. La contraseña de cierto tipo de cuenta consiste en un número de 4 dígitos cuyas cifras se pueden repetir. A esto, le siguen 3 vocales que no se pueden repetir. ¿Cuántas contraseñas se pueden crear siguiendo dichas condiciones? ​

Answer 1

Hay que usar el modelo combinatorio llamado COMBINACIONES en los dos casos: para las cifras (con repetición) y para las vocales (sin repetición).

Comenzamos por las cifras.

Hay 10 dígitos  (del 0 al 9) que hemos de tomar en grupos de 4 así que el modelo dice:

COMBINACIONES CON REPETICIÓN DE 10 ELEMENTOS (m) TOMADOS DE 4 EN 4 (n)

La fórmula para este modelo dice:

                                       $CR_m^n=\dfrac{(m+n-1)!}{n!\times (m-1)!}$

Y solo tenemos que sustituir valores:

                                       $CR\ _{10}^4=\dfrac{(10+4-1)!}{4!\times (10-1)!}\\ \\ \\ CR\ _{10}^4=\dfrac{13!}{4!\times 9!}\\ \\ \\ CR\ _{10}^4=\dfrac{13\times 12\times 11\times 10\times 9!}{4\times 3\times 2\times 1\times 9!}\\ \\ \\ CR\ _{10}^4=\dfrac{17160}{24}\\ \\ \\ CR\ _{10}^4=715$

Seguimos con las vocales. Hay 5 vocales y hemos de tomarlas en grupos de 3 sin que se repitan.

El modelo dice:

COMBINACIONES DE 5 ELEMENTOS (m) TOMADOS DE 3 EN 3 (n)

Y la fórmula es:

                                           $C_m^n=\dfrac{m!}{n!\times (m-n)!} \\ \\ \\ C_5^3=\dfrac{5!}{3!\times (5-3)!} \\ \\ \\ C_5^3=\dfrac{5\times4 \times3\times 2 !}{3\times 2\times 1\times 2!}\\ \\ \\ C_5^3=\dfrac{60}{6} \\ \\ \\ C_5^3=10$

Tenemos 715 combinaciones que pueden hacerse con los dígitos y 10 combinaciones que pueden hacerse con las letras.

La solución final se obtiene MULTIPLICANDO los dos resultados ya que para cada combinación de números habrá que asociar cada una de las 10 combinaciones de letras.

Nº de contraseñas = 715 × 10 = 7.150