Question

cuatro matrimonios han comprado ocho localidades en fila para un partido de futbol.¿ De cuantas maneras distintas se pueden sentar si
cada pareja se sienta junta
todos los hombres se sientan juntos y todas las mujeres se sientan juntas
todos los hombres se sientan juntos
las mujeres y los hombres ocupan localidades alternativas
ningun hombre se puede sentar junto a otro hombre

Answer 1

Obtenemos que la cantidad de maneras de sentarse sera:

Si cada pareja se sienta junta: 384

Si todos los hombres se sientan juntos y todas las mujeres se sientan juntas: 1152

Si todos los hombres se sientan juntos: 2880

Si las mujeres y los hombres ocupan localidades alternativas: 40320

Si ningún hombre se puede sentar junto a otro hombre: 1152

Una combinación en combinatoria cuenta la cantidad de maneras en las que se pueden tomar n elementos en grupos de r elementos y su ecuación es:

Comb(n,r) = n!/((n-r)!*r!)

Una permutación en combinatoria cuenta la cantidad de maneras en las que se pueden tomar n elementos en grupos de r elementos donde el orden de selección es tomado en cuenta y su ecuación es:

Perm(n,r) = n!/((n-r)!)

Si n = r

Perm(n,n) = n!

Calculamos de cuantas maneras pueden sentarse:

a) si  cada pareja se sienta junta: en los dos primeros puestos debe ir una pareja, en los otros dos una pareja,en los siguientes dos una pareja y en los otros 2 una pareja, entonces es la permutación de 4 parejas en 4:

4! = 24

Además cada pareja se puede sentar primero el hombre y después la mujer o primero la mujer y después el hombre multiplicamos el resultado por 4 permutaciones de 2 en 2

4!*2!*2!*2!*2! = 384

b) Todos los hombres se sientan juntas y todas las mujeres se sientan juntas.

Si las mujeres se sientan a la derecha y los hombres a la izquierda entonces permutamos las 4 mujeres en 4 puestos y 4 hombres en 4 puestos que sera:

4!*4! = 576

Ahora multiplicamos por 2 suponiendo que ahora se sientan las mujeres a la izquierda y los hombres a la derecha:

576*2 = 1152

c) si hombres se sientan juntos

Enumeramos los puestos del 1 al 8, Los hombres se sentaran desde el puesto j hasta el puesto j + 3.

Fijando los lugares donde se sientan los hombres debemos permutarlo en estos 4 puestos los 4 hombres y luego las mujeres en el resto de los puestos que seria también una permutación de 4 en 4

4!*4! = 576

Luego j  puede ser j = 1,2,3,4,5 por lo tanto tiene 5 opciones, multiplicamos por 5:

576*5 = 2880

d) Las mujeres y los hombres ocupan localidades alternativas:

Permutamos las 8 personas en los 8 puestos:

8! = 40320

e) ningún hombre se puede sentar junto a otro hombre

Si en el primer puesto hay un hombre entonces ya tenemos que los hombres estarán en los puestos impares y las mujeres en los pares. permutamos a los hombres y a las mujeres:

4!*4! = 576

Luego multiplicamos por 2 suponiendo que ahora en el primer puesto se sienta una mujer.

576*2 = 1152