Question

Cuatro amigos están en fila en algún orden, el primero dice 1, el segundo dice 3, el tercero dice 5, el cuarto dice 7, el primero dice 9 y siguen en orden contando de 2 en 2. Sebastian, uno de los amigos dice el 109, olga dice el 163, pablo dice el 247, y gustabo es otro de los amigos.
¿En que orden estaban los cuatro?

Answer 1

Cuatro amigos están en fila en algún orden, el primero dice 1, el segundo dice 3, el tercero dice 5, el cuarto dice 7, el primero dice 9 y siguen en orden contando de 2 en 2. Sebastián, uno de los amigos dice el 109, Olga dice el 163, Pablo dice el 247, y Gustavo es otro de los amigos.

¿En qué orden estaban los cuatro?

Respuesta: 1º Gustavo, 2º Olga, 3º Sebastián y 4º Pablo

Explicación paso a paso:

Podemos observar que los cuatro amigos están en fila y recitan los números siguiendo una sucesión aritmética creciente cuya diferencia es 2, así que que cada vez que los cuatro amigos recitan el número que les toca, completan una serie de cuatro números cuya diferencia es 8.

Como cada uno de los amigos está en una posición y comienza en un número diferente en la serie inicial de cuatro números, bastará considerar el número que nos proporcionan, para dividiéndolo entre 8, determinar el número de la serie en que se ha recitado ese número, que será la parte entera del cociente. Luego tenemos que restar del número proporcionado el número de serie multiplicado por 8 y el resultado nos dirá el número que comenzó la serie, y como cada uno de los amigos comenzó en un número diferente, podemos determinar las posiciones en que estaba colocado cada amigo. Este concepto en matemáticas se llama módulo y podéis encontrar explicaciones de su uso en cualquier libro de matemáticas, en la sección de aritmética modular.

Sebastián dice el número 109, entonces 109(mod 8)→ 5

[109/8 = 13,...] , [13x8 = 104] , [109-104 = 5] Sebastián comenzó en lugar 3

Olga dice el número 163 entonces 163(mod 8)→ 3

[163/8 = 20,...] , [20x8 = 160] , [163-160 = 3] Olga comenzó en lugar 2

Pablo dice el número 247 entonces 247(mod 8)→ 7

[247/8 = 30,...] , [30x8 = 240] , [247-240 = 7] Pablo comenzó en lugar 4

Y el cuarto amigo Gustavo tenía que estar en el lugar 1, que está vacante.

Resumen de los cálculos modulares:

Lugar 1, inicial: 1, serie 2: 9(mod 8)→ 1, (Gustavo)

Lugar 2, inicial: 3, serie 2:11(mod 8)→ 3, serie 20:163(mod 8)→ 3 (Olga)

Lugar 3, inicial: 5, serie 2:13(mod 8)→ 5, serie 13:109(mod 8)→ 5 (Sebastián)

Lugar 4, inicial: 7, serie 2:15(mod 8)→ 7, serie 30:247(mod 8)→ 7 (Pablo)

Respuesta: 1º Gustavo, 2º Olga, 3º Sebastián y 4º Pablo

$\textit{\textbf{Michael Spymore}}$