cuantos triangulos con area positiva tienen todos sus vertices en puntos (i,j) en el plano coordenado ,donde i y j son enteros entre 1 y 5
Respuestas a la pregunta
El número de triángulos con área positiva que tienen todos sus vértices en puntos (i,j) en el plano coordenado, donde i y j son enteros entre 1 y 5 son : 2148.
Se debe elegir tres puntos de los 25 dados que no estén alineados, primero se cuentan todas las posibles elecciones de tres puntos y luego se descuentan todos los casos en los que tres puntos estén alineados. Así, el total de elecciones de tres puntos de entre 25 dados es :
Cm,n = m!/n!*(m-n)!
C₂₅,₃= 25!/3!*(25-3)!
C₂₅,₃ = 2300.
Ahora, se debe descontar todos los casos en que los tres puntos estén alineados. Puede ser que haya 3 en la misma fila o columna y, teniendo en cuenta que hay 5 filas y 5 columnas, nos da un total de 10 ·
10* C₅,₃ = 10 * 5!/3!*(5-3)!= 10* 10 =100.
Ahora, se debe descontar los que están alineados en diagonal. Aquí, hay dos casos, como los que se muestra en la figura adjunta.
En el primer caso hay 20 posibilidades de elegir los puntos alineados en las 5 diagonales y, por simetría, hay otros 20 casos cuando las diagonales van en sentido contrario. En el segundo caso, hay 3 posibilidades de elección pero, por simetría, hay otros tres casos análogos (girando la figura de 90◦ en 90◦ ). Por tanto, en diagonal hay 52 casos en los que los tres puntos están alineados. Finalmente, el total de triángulos que se pueden formar es :
2300 − 100 − 52 = 2148.
