¿cuantos terminos hay que tomar en la P.A. 1;5;9;...;81, para que la suma sea 780?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Hay que tomar 20 términos
Explicación paso a paso:
En la progresión aritmética cada termino excepto el 1ro se obtiene sumándole al termino anterior una cantidad constante llamada diferencia(d)
1: 5 : 9:..................: 81:......
a₁ = Primer termino = 1
an = Ultimo termino
n = Número de terminos
d = Diferencia = 5 - 1 = 4
Formulas.
an = a₁ + (n - 1) * d
an = 1 + (n - 1) * 4
an = 1 + 4n - 4
an = 4n - 3 Ecuación (1)
La suma = S = 780
S = (a₁ + an) * n/2
780 = (1 + an) * n/2
780 * 2 = (1 + an) *n Ecuación (2) (1) Lo reemplazamos en (2)
1560 = (1 + 4n - 3) * n
1560 = ( 4n - 2) * n
1560 = 4n² - 2n Simplificamos sacamos mitad
780 = 2n² - n
0 = 2n² - n - 780
2n² - n - 780 = 0 Por formula resolvemos
a = 2
b = - 1
c = - 780
Formula.
n = [- b +/- √(b² - 4ac)]/2a
n = [ - (- 1) +/- √((- 1)² - 4(2)( - 780))]/(2 * 2)
n = [ 1 +/- √(1 + 6240)]/4
n = [1 + / - √6241]/4
n = [ 1 + / - 79]/4
n₁ = [ 1 + 79]/4
n₁ = 80/4
n₁ = 20
o
n₂ = [1 - 79]/4
n₂ = - 78/4
Se toma el valor positivo
n = 20