Question

¿Cuántos objetos diferentes debe haber para que el número de grupos que se pueden formar, tomándolos de tres en tres, sea el doble del número de objetos?
Urgenteeeeeeeeee!

Answer 1

Tarea:

¿Cuántos objetos diferentes debe haber para que el número de grupos que se pueden formar, tomándolos de tres en tres, sea el doble del número de objetos?

Respuesta:

Debe haber 5 objetos

Explicación paso a paso:

Tenemos "m" objetos que hay que tomar de 3 en 3 pero no sabemos el modelo combinatorio a usar (combinaciones o variaciones).

Para saberlo se razona lo siguiente:  si tomamos un grupo de objetos que llamaremos  1, 2 y 3, será el mismo grupo que si decimos que hemos tomado los objetos 2, 3 y 1, ok?  Es decir que el orden en que enumeremos los objetos que hemos tomado no importa para distinguir entre un grupo u otro.

Teniendo eso en cuenta ya descartamos que sean variaciones y diremos que se trata de:

COMBINACIONES DE "m" ELEMENTOS TOMADOS DE 3 EN 3

La fórmula por factoriales de este tipo de modelo combinatorio nos dice:

$C_m^n=\dfrac{m!}{n!*(m-n)!}$

Sustituyendo "n" por 3, tengo esto:

$C_m^3=\dfrac{m!}{3!*(m-3)!}$

Y me dice que el resultado es igual al doble del número de objetos, es decir, al doble de "m", así que planteo la ecuación y resuelvo:

$\dfrac{m!}{3!*(m-3)!}=2m\\ \\ \\ \dfrac{m*(m-1)*(m-2)*(m-3)!}{3*2*1*(m-3)!}=2m\\ \\ \\ \dfrac{m*(m-1)*(m-2)}{6} =2m\\ \\ \\ m*(m-1)*(m-2)=12m\\ \\ (m-1)*(m-2)=12\\ \\ m^2-2m-m+2=12\\ \\ m^2-3m-10=0$

Por fórmula general de resolución de ecuaciones cuadráticas...

$m_1_,m_2= \dfrac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

$m_1=\dfrac{3+7}{2}=5$

El otro resultado se desecha por salir negativo y no valer para este ejercicio ya que no existen "objetos negativos".

Por lo tanto la respuesta correcta es que debe haber 5 objetos.

Saludos.