Question

cuantos números pares de tres cifras se pueden formar a partir de los números 2,3,4,5,6 si .
a- no se repitan dígitos
b- se puedan repetir dígitos
c- sin repetir dígitos cuantos son pares mayor a 300
d-con dígitos ,repetidos cuantos son impares,mayor a 400

Answer 1

a) 
p= casos pedidos / casos generales 

Casos generales
Son permutación de 5 elementos de 3 en 3 ( P(5,3) ). Permutación porque el orden es importante.
P(5,3) = 5!/(5-3)! = 60
Casos pedidos 
Imagina que tienes 3 puestos en los cuales debes colocar los números.
                (    ) (   ) (    )
Como dicen que debe ser par entonces el tercer puesto debe ser un número par. En nuestro conjunto solo hay 3 números pares 2,4, y 6.Supongamos que ya lo elegimos 
.                        (   ) (   ) (  x  )
De los 5 número que teníamos (2,3,4,5,6) tendremos ahora 4. Como solo necesitamos 2 números para llenar nuestros puesto vacíos y el orden es importante aplicamos P(4,2) ( pues si cogemos 34 , esto será distinto que 43) 
Así nuestros casos pedidos serán 3xP(4,2) ( Regla del producto) 
casos pedidos = 3xP(4,2) = 36
P= 36/60 = 0.6 = 60%.

B)
Como dicen que se pueden repetir si en el caso anterior luego de elegir uno de los 3 números pares que teníamos nos quedaban 4 números , ahora seguiremos teniendo 5 números de los cuales podemos escoger el siguiente número y nuevamente seguiremos teniendo 5 números para escoger el tercer número así :
Casos pedidos = (5)(5)(P(3,1) ) = 75

Casos generales = (5)(5)(5) = 125
P = 75/125 = 0.6 = 60%.

C) 
Aquí haré uso de la probabilidad condicional :
                 P(>300 / pares) = P( >300∩pares) / P(pares) 
Que se lee: "probabilidad de números mayores a 300 dado que son pares es igual a la probabilidad de que sean >300 y pares dividido para la probabilidad de que sean pares.
Lo que buscamos es la intersección de ambos :
 P( >300∩pares)  =  P( >300 /pares) x  P(pares) 
La probabilidad de que sean pares sin repetir ya la calculamos 60%
P( >300 /pares) 
Al decir "dado que son pares " significa que el tercer puesto ya está ocupado por el número 2 o por el 4 o por el número 6, de modo que solo debemos preocuparnos por el 2do y 1er puesto. Como es sin repetir contamos con 4 números : 2 impares (3,5) y 2 pares ( 4 y 6) Como queremos >300 entonces el primer puesto lo escogeremos de entre el 5 y los 2 pares que tenemos ,tendremos 3 números a disposición. Supongamos que lo escogemos. 
                             ( # ) (  ? ) ( 2) 
Ahora contamos entonces para llenar el 2do puesto con los 2 números restantes anteriores y el 3, teniendo así otra vez 3 números para escoger 
Por tanto al cantidad de números con tales condiciones (#1)(#2)(#3)  son 
(3)(3)(1) = 9 

Este es el caso1 donde iniciamos colocando el 2 . Este 9 debemos sumarlo a los del  caso 2.

Caso 2
Supongamos que ahora iniciamos colocando en el 3er puesto al 4.
              (     ) (     ) (  4  )
Ahora resultará que para el 1er puesto contaremos ya no con 3 números sino que ahora solo contaremos con 2 que son el 6 y el 5 pues el 2 y 3 no pueden ir porque estamos buscando >300. Una vez escogido el número tendremos como el caso anterior , 3 números ( 2, 3 y el que sobre de la elección anterior ) de los cuales escogeremos uno para el 2do puesto.
Todo esto quedaría como 
(2)(3)(1) = 6.

Caso3
Es como el caso2 solo que se inicia colocando al 6.
(2)(3)(1) = 6

Entonces 
P(>300 / pares ) = (9 +6 +6 )/36 = 0.5833 = 58.33%.
Es divido para 36 y no para 60 porque es "dado que son pares", dividimos para la cantidad de pares entonces.
Luego 
P( >300∩pares)  =  P( >300 /pares) x  P(pares) 
                            = (0.5833) x (0.60)
P( >300∩pares)  = 0.35 = 35%.

d) Aquí iré un poco más rápido .
P(>400∩ impar) = P(>400 / impar ) x P(impar) 

Como dice que se pueden repetir 
P(impares) = (5)(5)(2) / (5x5x5) = 0.4 = 40%
Como detalle si te fijas
P(impares con repetición ) = 1- P(pares con repetición)
                                           = 1 - 0.60
                                           =  0.40 = 40%
P( >400 / impares) =  [ (2)(5)(1) + (2)(5)(1) ] / (5x5x2) 
                               = 20/ 50 
                               = 0.4 = 40%

P(>400∩ impar) = P(>400 / impar ) x P(impar) 
                           = 0.40    x   0.40
                            = 0.16 = 16%.

Cualquier duda o corrección sera bienvenida.