Question

cuantos numeros impares del 1 al 1000 tienen raiz cuadrada exacta

Answer 1

Calcular la raíz cuadrada de 1000 números es algo muy largo, pero podemos hacerlo al revés, así:

Primero calcularemos la raíz cuadrada de 1000 para saber  cual es el número máximo hasta el que debemos calcular:
$\sqrt{1000} =31.62$

Si hacemos:
$31^{2} =961$
$32^{2} =1024$

Vemos que el 32 ya no entra en nuestro intervalo porque su cuadrado es mayor a 1000, así que solo llegaremos hasta 31.

Luego debemos recordar que siempre que multipliques un número par el resultado será un número par, así que la cantidad de números impares del 1 1000 que tienen raíz cuadrada exacta serán la misma cantidad de números impares que hay de 1 hasta 31
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31

En total hay 16 números.

Por lo que nuestra respuesta es que del 1 al 1000 solo hay 16 números impares que tienen raíz cuadrada exacta.

Aquí la comprobación: 

$1^{2} =1$
$3^{2} =9$
$5^{2} =25$
$7^{2} =49$
$9^{2} =81$
$11^{2} =121$
$13^{2} =169$
$15^{2} =225$
$17^{2} =289$
$19^{2} =361$
$21^{2} =441$
$23^{2} =529$
$25^{2} =625$
$27^{2} =729$
$29^{2} =841$
$31^{2} =961$