¿Cuántos números enteros positivos existen tales
que al dividir entre 31 da un residuo que es el triple
del cociente?
A) 12
B) 10
C) 18
D) 8
E) 55
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Hola, muy buenas tardes!
Supongamos que tenemos 'n' tal que al dividirlo entre 31, el residuo es el triple del cociente. Esto es, si n = 31q + r , con 0 ≤ r < 31
Dado que r = 3q: 0 ≤ 3q < 31
→ 0 ≤ q < 31/3
Cómo tenemos que 'r' es algún entero entre 0 y 31/3, y el entero menor más cercano a 31/3 es 30/3, que es 10, tenemos que:
0 ≤ q ≤ 10.
Además, q ≠ 0, por lo que:
1 ≤ q ≤ 10
Entonces, q puede tomar 10 valores, por lo que existen 10 enteros positivos que cumplen el enunciado, puesto que para q ≥ 11, 3q = r ≥ 33, con lo cual NO se cumple el enunciado. Además, para q = 0 , 3q = r = 0 , por lo que n = 0 , con lo cuál NO se cumple que 'n' es positivo.
Entonces, finalmente, existen 10 'n' que cumplen el enunciado.
Respuesta: Opción B)
Saludos! :)