Question

Cuántos números enteros positivos de cinco cifras cumplen que no son múltiplos de 5 y que, al eliminar las últimas dos cifras, queda un número que es un cubo perfecto? *​

Answer 1

Hay 400 números enteros positivos de cinco cifras que no son múltiplos de 5 y que al eliminar las primeras dos cifras queda un número que es un cubo perfecto.

Si tenemos un numero de 5 cifras y eliminamos las dos ultimas, nos queda un numero de 3 cifras. Analicemos cuantos números de tres cifras son cubos perfectos:

99 < n³ < 1000

$\sqrt[3]{99}< n < \sqrt[3]{1000} \\4.62 < n <10\\5 \le n \le9$

Hay por tanto 9 - 5 + 1 = 5 números cubos perfectos de tres cifras. Estos son:

125, 216, 343, 512, 729

Analicemos ahora la divisibilidad por 5, que solo depende de la ultima cifra. Un numero es divisible entre 5 si su ultima cifra es 0 o  5. Veamos cuantos números del 0 al 99 cifras hay divisibles entre 5:

0 ≤ 5n < 100

0/5 ≤ n < 100/5

0 ≤ n < 20  

0 ≤ n ≤ 19

Hay por tanto 19 - 0 + 1 = 20 números divisibles entre 5 del 0 al 100. Por tanto, hay entonces, 80 que no son divisibles entre 5.

CONCLUSIONES

Como tenemos 5 números cubos perfectos y cada uno puede terminar de 80 maneras diferentes para que no sea divisible entre 5 entonces, por el principio multiplicativo tenemos un total de:

80 * 5 = 400

R/ Hay 400 números que cumplen la condición impuesta.

Se adjuntan los 400 números:

12501, 12502, 12503, 12504, 12506, 12507, 12508, 12509, 12511, 12512, 12513, 12514, 12516, 12517, 12518, 12519, 12521, 12522, 12523, 12524, 12526, 12527, 12528, 12529, 12531, 12532, 12533, 12534, 12536, 12537, 12538, 12539, 12541, 12542, 12543, 12544, 12546, 12547, 12548, 12549, 12551, 12552, 12553, 12554, 12556, 12557, 12558, 12559, 12561, 12562, 12563, 12564, 12566, 12567, 12568, 12569, 12571, 12572, 12573, 12574, 12576, 12577, 12578, 12579, 12581, 12582, 12583, 12584, 12586, 12587, 12588, 12589, 12591, 12592, 12593, 12594, 12596, 12597, 12598, 12599, 21601, 21602, 21603, 21604, 21606, 21607, 21608, 21609, 21611, 21612, 21613, 21614, 21616, 21617, 21618, 21619, 21621, 21622, 21623, 21624, 21626, 21627, 21628, 21629, 21631, 21632, 21633, 21634, 21636, 21637, 21638, 21639, 21641, 21642, 21643, 21644, 21646, 21647, 21648, 21649, 21651, 21652, 21653, 21654, 21656, 21657, 21658, 21659, 21661, 21662, 21663, 21664, 21666, 21667, 21668, 21669, 21671, 21672, 21673, 21674, 21676, 21677, 21678, 21679, 21681, 21682, 21683, 21684, 21686, 21687, 21688, 21689, 21691, 21692, 21693, 21694, 21696, 21697, 21698, 21699, 34301, 34302, 34303, 34304, 34306, 34307, 34308, 34309, 34311, 34312, 34313, 34314, 34316, 34317, 34318, 34319, 34321, 34322, 34323, 34324, 34326, 34327, 34328, 34329, 34331, 34332, 34333, 34334, 34336, 34337, 34338, 34339, 34341, 34342, 34343, 34344, 34346, 34347, 34348, 34349, 34351, 34352, 34353, 34354, 34356, 34357, 34358, 34359, 34361, 34362, 34363, 34364, 34366, 34367, 34368, 34369, 34371, 34372, 34373, 34374, 34376, 34377, 34378, 34379, 34381, 34382, 34383, 34384, 34386, 34387, 34388, 34389, 34391, 34392, 34393, 34394, 34396, 34397, 34398, 34399, 51201, 51202, 51203, 51204, 51206, 51207, 51208, 51209, 51211, 51212, 51213, 51214, 51216, 51217, 51218, 51219, 51221, 51222, 51223, 51224, 51226, 51227, 51228, 51229, 51231, 51232, 51233, 51234, 51236, 51237, 51238, 51239, 51241, 51242, 51243, 51244, 51246, 51247, 51248, 51249, 51251, 51252, 51253, 51254, 51256, 51257, 51258, 51259, 51261, 51262, 51263, 51264, 51266, 51267, 51268, 51269, 51271, 51272, 51273, 51274, 51276, 51277, 51278, 51279, 51281, 51282, 51283, 51284, 51286, 51287, 51288, 51289, 51291, 51292, 51293, 51294, 51296, 51297, 51298, 51299, 72901, 72902, 72903, 72904, 72906, 72907, 72908, 72909, 72911, 72912, 72913, 72914, 72916, 72917, 72918, 72919, 72921, 72922, 72923, 72924, 72926, 72927, 72928, 72929, 72931, 72932, 72933, 72934, 72936, 72937, 72938, 72939, 72941, 72942, 72943, 72944, 72946, 72947, 72948, 72949, 72951, 72952, 72953, 72954, 72956, 72957, 72958, 72959, 72961, 72962, 72963, 72964, 72966, 72967, 72968, 72969, 72971, 72972, 72973, 72974, 72976, 72977, 72978, 72979, 72981, 72982, 72983, 72984, 72986, 72987, 72988, 72989, 72991, 72992, 72993, 72994, 72996, 72997, 72998, 72999