Question

¿Cuántos números enteros mayores a 99 y menores que 1000 se pueden utilizando dígitos distintos? ¿Ciántos de estos números son impares?

Answer 1

COMBINATORIA. Variaciones sin repetición

El intervalo entre 99 y 1000 se refiere a todos los números de 3 cifras, ok?

Aclarado ese punto, hemos de tomar los diez dígitos  (del 0 al 9)  y agruparlos de 3 en 3 calculando el total de grupos distintos que pueden hacerse teniendo en cuenta que no se pueden repetir dígitos según nos dice el propio texto del ejercicio.

El modelo combinatorio a usar es el de las variaciones puesto que para una misma elección de tres dígitos, será distinto número según la posición en que coloquemos esos dígitos, por ejemplo, no será el mismo número 123 que 321, ok?

Por esa razón hay que calcular variaciones y no combinaciones. El orden en que coloquemos los dígitos importa para distinguir dos formas distintas de combinar los mismos dígitos..

Hay que calcular:

VARIACIONES DE 10 ELEMENTOS (m) TOMADOS DE 3 EN 3 (n).

La fórmula por factoriales dice:   $V_{m} ^n=\dfrac{m!}{(m-n)!}$

Sustituyendo datos:  $V_{10} ^3=\dfrac{10!}{(10-3)!} =\dfrac{10*9*8*7!}{7!} =720$

Pero esa cantidad no es real puesto que al combinar los dígitos hemos incluido el cero y este dígito nos vale mientras no aparezca en la posición de las centenas, por ejemplo, el número 032 no podemos considerarlo como un número de 3 cifras sino de solo 2 ya que el cero no es cifra significativa, no posee valor en esa posición.

Así pues, ahora habrá que calcular cuántos números de 3 cifras tienen el cero colocado en la posición de las centenas.

Para ello "fijamos" ese cero en esa posición y tomamos de nuevo los 10 dígitos y los variamos de 2 en 2. Así conoceremos todos los números inválidos de la cantidad hallada antes.

$V_{10} ^2=\dfrac{10!}{(10-2)!} =\dfrac{10*9*8!}{8!} =90$

Ahora solo queda restar esta cantidad de la anterior y llegaremos a la solución:

720 - 90 = 530 números es la respuesta a la 1ª pregunta.

Para la segunda cuestión no hacen falta fórmulas ni usar combinatoria ya que sabemos que los números impares son una sucesión cuyos términos van aumentando de dos en dos.

Por tanto, si tenemos un total de 1000 - 100 = 900 números en total que tienen 3 cifras, la mitad de ellos serán pares y la otra mitad impares.

900 ÷ 2 = 450 números impares es la respuesta a la 2ª cuestión.

Saludos.