Question

cuantos números de la forma :(a - 2) (2a) (4b)b en base 12 existen

Answer 1

¡Buenas!

$\overline{(a-2)(2a)(4b)b}_{12} \\ \\ \textrm{Nos piden saber cuantos n\'umeros de esa forma pueden existir} \\ \textrm{por teor\'ia sabemos que cada d\'igito debe ser menor que su base.} \\ \\ 0 \ \textless \ a-2 \ \textless \ 12 \\ \\ 0 \leq 2a \ \textless \ 12 \\ \\ 0 \leq 4b \ \textless \ 12 \\ \\ 0 \leq b \ \textless \ 12 \\ \\ \boldsymbol{Nota}\ \textrm{Recordar que todos pueden tomar el valor de cero, a excepcion} \\ \textrm{del primer d\'igito} \\ \\ 2\ \textless \ a\ \textless \ 14\ \ \wedge\ \ 0 \leq a \ \textless \ 6$

$\textrm{\boldsymbol{a} debe cumplir con ambas desigualdades por eso se coloca} \\ \textrm{el conectivo l\'ogico "\boldsymbol{y}" tambien conocido como}\ \wedge \\ \\ 2\ \textless \ a\ \textless \ 14\ \ \wedge\ \ 0 \leq a \ \textless \ 6 \\ \\ 2\ \textless \ a\ \textless \ 6 \\ \\ \textrm{Concluimos que \boldsymbol{a} solo puede tomar los siguientes valores} \\ \\ C.V.A = \{3;\ 4;\ 5\}$

$\textrm{Analogamente \ldots} \\ \\ 0 \leq 4b \ \textless \ 12\ \wedge\ 0 \leq b \ \textless \ 12 \\ \\ 0 \leq b \ \textless \ 3\ \wedge\ 0 \leq b \ \textless \ 12 \\ \\ 0 \leq b \ \textless \ 3 \\ \\ \textrm{Concluimos que \boldsymbol{b} solo puede tomar los siguientes valores} \\ \\ C.V.A = \{0;\ 1;\ 2\}$

$\textrm{Ahora que sabemos que tanto \boldsymbol{a} como \boldsymbol{b} pueden tener 3 valores} \\ \textrm{como m\'aximo, podemos hallar la cantidad de valores posibles.}$

$\textrm{Debido a que los dos primeros d\'igitos depeden de \boldsymbol{a} los tomaremos} \\ \textrm{como si fuesen uno solo.} \\ \textrm{De manera similar, los dos \'ultmos d\'igitos dependen de \boldsymbol{b} .} \\ \\ \overline{(a-2)(2a)(4b)b}_{12} \\ \\ \overline{(a-2)(2a)}\ \to\ \textrm{3 valores posibles} \\ \\ \overline{(4b)(b)}\ \to\ \textrm{3 valores posibles} \\ \\ \textrm{En estos casos para saber la cantidad de combinaciones posibles se} \\ \textrm{realiza una multiplicaci\'on. }$

$3\ \cdot\ 3 = 9$

RESPUESTA

$\boxed{9}$