Cuántos enteros positivos cumplen con ser iguales a 7 veces la suma de sus dígitos
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1) Ningún número de 1 dígito cumple esa condición
2) Buscamos los números de dos dígitos que puedan cumplir esa condición:
Podemos representar nuestro número como ab donde "a" representa las decenas y "b" las unidades, entonces tenemos que nuestro número es:
10a + b
Además 7 veces de la suma de sus dígitos es igual al número. Entonces tenemos la siguiente ecuación:
10a + b = 7(a + b)
10a + b = 7a + 7b
3a = 6b
De la última ecuación debemos notar que "a" debe ser un múltiplo de 6, además debemos recordar que "a" y "b" son dígitos por lo que su valor está entre 0 y 9. Entonces la ecuación sólo tiene una solución, que es
a = 6
3a = 6b = 3(6) = 18
b = 18/6 = 3
Entonces el número es: 10a + b = 60 + 3 = 63
3) Buscamos los números de tres dígitos que puedan cumplir esa condición:
Podemos representar nuestro número como abc donde "a" representa las centenas, "b" las decenas y "c" las unidades, entonces tenemos que nuestro número es:
100a + 10b + c
Además 7 veces de la suma de sus dígitos es igual al número. Entonces tenemos la siguiente ecuación:
100a + 10b + c = 7(a + b + c)
100a + 10b + c = 7a + 7b + 7c
93a + 3b = 6c
3(31a + b) = 6c
"c" debe ser múltiplo de 3, entonces sólo puede ser 3, 6 ó 9 y "a" no puede ser cero porque en ese caso tendríamos un número de dos dígitos
Entonces:
Si c = 3
3(31a + b) = 6c = 18 no puede ser solución porque el valor mínimo de "a" es 1 y en ese caso, 3(31a + b) = 93 + 3b que es mayor que 18
Si c = 6
3(31a + b) = 6c = 36 no puede ser solución porque el valor mínimo de "a" es 1 y en ese caso, 3(31a + b) = 93 + 3b que es mayor que 36
Si c = 9
3(31a + b) = 6c = 54 no puede ser solución porque el valor mínimo de "a" es 1 y en ese caso, 3(31a + b) = 93 + 3b que es mayor que 54
No hay ningún número de 3 o más dígitos que cumplan la condición
Saludos!
2) Buscamos los números de dos dígitos que puedan cumplir esa condición:
Podemos representar nuestro número como ab donde "a" representa las decenas y "b" las unidades, entonces tenemos que nuestro número es:
10a + b
Además 7 veces de la suma de sus dígitos es igual al número. Entonces tenemos la siguiente ecuación:
10a + b = 7(a + b)
10a + b = 7a + 7b
3a = 6b
De la última ecuación debemos notar que "a" debe ser un múltiplo de 6, además debemos recordar que "a" y "b" son dígitos por lo que su valor está entre 0 y 9. Entonces la ecuación sólo tiene una solución, que es
a = 6
3a = 6b = 3(6) = 18
b = 18/6 = 3
Entonces el número es: 10a + b = 60 + 3 = 63
3) Buscamos los números de tres dígitos que puedan cumplir esa condición:
Podemos representar nuestro número como abc donde "a" representa las centenas, "b" las decenas y "c" las unidades, entonces tenemos que nuestro número es:
100a + 10b + c
Además 7 veces de la suma de sus dígitos es igual al número. Entonces tenemos la siguiente ecuación:
100a + 10b + c = 7(a + b + c)
100a + 10b + c = 7a + 7b + 7c
93a + 3b = 6c
3(31a + b) = 6c
"c" debe ser múltiplo de 3, entonces sólo puede ser 3, 6 ó 9 y "a" no puede ser cero porque en ese caso tendríamos un número de dos dígitos
Entonces:
Si c = 3
3(31a + b) = 6c = 18 no puede ser solución porque el valor mínimo de "a" es 1 y en ese caso, 3(31a + b) = 93 + 3b que es mayor que 18
Si c = 6
3(31a + b) = 6c = 36 no puede ser solución porque el valor mínimo de "a" es 1 y en ese caso, 3(31a + b) = 93 + 3b que es mayor que 36
Si c = 9
3(31a + b) = 6c = 54 no puede ser solución porque el valor mínimo de "a" es 1 y en ese caso, 3(31a + b) = 93 + 3b que es mayor que 54
No hay ningún número de 3 o más dígitos que cumplan la condición
Saludos!
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