Question

¿Cuántos electrones en exceso deben distribuirse de manera uniforme dentro del volumen de una esfera de plástico aislada de 1.2 cm de diámetro, para producir un campo eléctrico de 22.7 N/C justo fuera de la superficie?

Answer 1

En este caso la esfera es dieléctrica por lo que la carga se distribuye uniformemente en todo el interior, aplicamos la ley de Gauss tomando como superficie gaussiana una esfera mayor a la esfera bajo estudio y concéntrica a esta, de radio r:

$\Psi = \int\limits^{} _A {E} \, dS = \frac{Q}{\epsilon_{0}}$

En estas condiciones el campo eléctrico es el mismo en todo punto de la superficie gaussiana por lo que:

$\Psi = E\int\limits^{} _A {} \, dS = E.A=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$

Luego el área superficial de la esfera es:

$A=4\pi r^2$

Reemplazando:

$E.4\pi r^2=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$

Tomamos la permisividad eléctrica del vacío porque estamos evaluando el exterior de la esfera.

$E(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0} r^2 } , r>R$

Podemos tomar un punto muy cercano a la superficie de la esfera de modo que r≅R:

$E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_{0}R^2}$

Tengo que:

$\epsilon_{0}=8,85\frac{C^2}{Nm^2}\\R=0,006m\\\\Q=4\pi \epsilon_{0}R^2E=4\pi .(0,006m)^2.8,85\frac{C^2}{Nm^2}.22,7\frac{N}{C} = 9,09x10^{-14}C$

Ahora la cantidad de electrones es ese resultado dividido entre la carga unitaria del electrón q:

$q=1,6x10^{-19}C\\n=\frac{Q}{q}=\frac{9,09x10^{-14}C}{1,6x10^{-19}C} = 5,68x10^5$

Esa es la cantidad de electrones en exceso que debe tener la esfera.