Question

cuantos divisores puede tener un número?

Answer 1

Hemos visto que los números primos solamente tienen 2 divisores. Vamos a estudiar cuántos divisores tiene un número compuesto.
Todo número natural N se puede descomponer en factores de forma única, quedando de la forma N = aα·bβ·cγ·dδ.. donde a, b, c, d,.. son números primos (1, 2, 3, 5, 7...) y α, β, γ, δ, ... sus exponentes.

Según esto el número de divisores que tiene el número N es: (α +1)(β +1)(γ +1)(δ+ 1)...
Es decir: se suma una unidad a cada uno de los exponente que tenga el número y se hace el producto de ellos.

Ejemplo 1: Halla cuántos divisores tiene el número 84.
Su descomposición factorial es: 84 = 22·3·7; el número de divisores es: (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3·2·2 =12.
Recordar que el 3 y el 7 tienen exponente 1 (aunque no se pone).

Ejemplo 2: Determina cuántos divisores tiene 250.
Descompuesto en factores queda: 250 = 2·53 ; luego el número de divisores será: (1 + 1)(3 + 1) = 2·4 = 8.

Ejemplo 3: ¿cuántos divisores tiene 216?
Si hacemos su descomposición en factores resulta: 216 = 23·33; aplicando la fórmula obtenemos el número de divisores: (3 + 1)(3 + 1) = 4·4 = 16.

Ejemplo 4: ¿cuántos divisores tiene el cuadrado de un número primo?
Sea p un número primo cualquiera. Su cuadrado será p2, que precisamente es su composición factorial. Luego el número de divisores es (2 + 1) = 3.
Estos tres divisores son: 1, p y p2