Question

¿Cuántos de los divisores de 100^40 son también divisor de 200^30, 300^20 y 400^10?

Answer 1

Oye, son números grandes.
Reescribe los números en cuestión factorizándolos en forma prima y aplicando la ley de los exponentes.

100^40=(10²)^40=10^80=(2×5)^80=2^80×5^80

200^30=(2³×5²)^30=2^90×5^60

300^20=(3×2²×5²)^20=3^20×2^40×5^40

400^10=(2⁴×5²)^10=2^40×5^20

La pregunta es ¿cuántos divisores del primero comparte con el resto?
¿y cuántos divisores tiene el primero?
Para saberlo ignora las bases por un momento y añade una unidad a cada exponente y luego multiplícalos, o sea, (80+1)(80+1)=6561. Ahora sé que el primero tiene 6561 divisores.
Ahora necesito saber cuáles factores primos comparten el primero con el resto, los cuales son: 2 y el 5. Ahora toma el exponente menor de 2 y 5 que aparezca en cada una de las descomposiciones.
2^40×5^20 este producto indicado es el máximo común divisor de ambos, pero aún no sé Cuántos divisores comparten. Bueno ahora, para saberlo, otra vez, ignora las bases por un momento de este último, y suma una unidad a cada exponente y multiplica los resultados,o sea, (40+1)(20+1)=861. 861 es el cuánto. De un total de 6561 divisores del primero sólo 861 son divisores del resto de cantidades dadas en el problema.