Question

cuantos ceros se debe colocar a la derecha del número 72 para obtener un número que posee 162 divisores

Answer 1

RESPUESTA

Cinco ceros deben ser colocados a la derecha de 72 para tener 162 divisores

ANALISIS

Para hallar el número debemos realizar una serie de descomposiciones sucesivas de los posibles números hasta dar con aquel que cumpla con los 162 divisores. Partimos de descomponer el número 72:

72  |  2
36  |  2
18  |  2
  9  |  3
  3  |  3
  1  |      ⇒  72 = 2³.3²

Ahora, queremos encontrar un número que sea el resultado de 72 multiplicado por 10 elevado a una potencia x desconocida (que no dará la cantidad de ceros) 

72.10ˣ = 2³.3².(2.5)ˣ  =  2³.3².2ˣ.5ˣ = 2⁽³⁺ˣ).3².5ˣ

Si requerimos el número de divisores, este es igual a el producto de los exponentes del número aumentados en 1 

(3+x+1)(2+1)(x+1) = (4+x)(3)(x+1) = 3(x² + 5x + 4) 
                              = 3x² + 15x + 12


Igualamos la ecuación al número de divisores que requerimos y resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos que

3x² + 15x + 12 = 162
3x² + 15x -150 = 0
x² + 5x - 50 = 0

x₁ = -10
x₂ = 5

Por lo que se deben colocar 5 ceros → 7.200.000