Question

¿cuántos arreglos de cuatro letras se pueden formar con las letras a, b y c de modo que solamente la a pueda aparecer dos veces en cada arreglo?.

Answer 1

El total de arreglos de cuatro letras que se pueden formar con las letras a, b y c, donde solo la letra "a" pueda aparecer dos veces es de 12, lo que se obtiene mediante permutación de los elementos del arreglo.

Permutaciones

Las permutaciones se refieren a las maneras en que pueden ordenarse los elementos de un conjunto en posiciones diferentes. Si un conjunto está formado por los números 1, 2 y 3, existen 6 formas diferentes de ordenarlos, de manera que quedarían:

1 2 3   2 1 3   3 1 2

1 3 2   2 3 1   3 2 1

Por definición, las diferentes formas de ordenar un número "m" de elementos en diferentes posiciones "n"  se denominan permutaciones, donde m ≥ n. En el caso de las permutas o permutaciones:

• El orden de los elementos importa, ya que los cambios de posición u orden implican una permutación.
• Cada elemento del conjunto debe ser diferente, ya que en un conjunto de elementos iguales no se puede hablar de permutación.

La fórmula general de las permutaciones es:

$P^{m} _{n} = \frac{m!}{(m-n)!}$

En el ejercicio planteado hay tres elementos, a, b y c pero uno de ellos se repite, la letra a, por lo que se trata de permutaciones con elementos repetidos, cuya fórmula es:

$P^{n} _{a,b...} = \frac{n!}{a!.b!...}$

Donde n es el número de elementos que forman el arreglo (4) y a, b... es el número de veces que se repiten los elementos ("a" se repite 2 veces). Aplicando la fórmula a los datos que se tienen:

$P^{4} _{2} = \frac{4!}{2!}$

$P^{4} _{2} = \frac{4*3*2*1}{2*1} = \frac{24}{2}$

$P^{4} _{2} = 12$

Por lo que el número de arreglos de cuatro letras que se pueden formar con las letras a, b y c donde solo se repite la letra "a" es 12.

Más información relacionada con las permutaciones, disponible en: https://brainly.lat/tarea/13630940

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