Question

¿Cuánto vale lim f(x)?
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Answer 1

Respuesta:

Noción de límite de una función en un punto.

 Una función  y = f(x) puede no estar definida para un cierto punto,  digamos x = xo , como sucede con  y = log x en el punto x = 0,  o como sucede con  y = tg x en el punto x = p/2 . En realidad, una función  y = f(x) puede llegar a mostrar un comportamiento extraño en cierto punto x = xo . Para comprender mejor estas posibles anomalías de algunas funciones se introduce la noción de límite de una función en un punto.

 La función  y = f(x) tiene como límite L en el punto x=a.

  Para determinar el límite de y = f(x) en cierto punto x = a ,  debemos prescindir del valor que tenga f(a), incluso puede que f(a) ni siquiera esté definido, y fijarnos en los valores de f(a) para puntos extremadamente cercanos a x = a.

  En el ejemplo del gráfico, observando los valores de los puntos muy próximos a x= a, lo cual será expresado así:  ,  se llega a la conclusión que el límite de y = f(x) "cuando x tiende al valor a" es L. Utilizando simbología matemática, lo expresamos:

 2. 2  Limites laterales.

  Existen funciones que en un cierto punto x = xo  poseen una discontinuidad, sufriendo su gráfica de un "salto", tal como se muestra en la figura de abajo.

 La función  y = f(x) tiene como límite L+ por la derecha del punto x=a, y el límite L- por la izquierda del punto x=a.

Para la función   y = f(x) del gráfico de arriba, no está definido el valor f(a) ,  y se dice que el límite de f(x) "por la derecha" del punto x = a  (expresado así:  +e) es  L+, lo cual en simbología matemática es:

Por otra parte, se dice que el límite de f(x) "por la izquierda" del punto x = a  ( expresado así:  -e) es  L+, que en simbología matemática es:

 (NOTA: En Cálculo Infinitesimal suelen emplearse letras griegas tales como: e, d, ... para referirnos a valores numéricos muy pequeños.)

  Por otra parte, para que podamos hablar verdaderamente del límite de f(x) en el punto x = a  los los límites laterales deben ser iguales, es decir, debe cumplirse:

limitl5.gif (315 bytes)

Explicación paso a paso: