Matemáticas, pregunta formulada por danielarechigagibert, hace 1 año

¿Cuánto mide el área sombreada?

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Contestado por GalacticHorse
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Respuesta:

Si analizamos correctamente. Los semicírculos sombreados pueden ponerse en los espacios de los semicírculos blancos. Dando como resultado un cuadrado. (Ver imagen)

Como los semicírculos son de radio 1. El lado del cuadrado es igual a 4. Es decir, dos veces el diámetro de los círculos menores.

Un cuadrado de área: 16

Para encontrar el área del circulo mayor. Debemos de encontrar su radio. Utilizaremos un artilugio geométrico. Trazaremos un triangulo rectángulo de Altura 6 y base 2. De esta manera (Ver imagen).

Utilizamos teorema de pitagoras:

a^2 + b^2  = c^2

2^2 + 6^2 = c^2

4 + 36 = c^2

√40 = √c^2

√40 = c

Descomponemos 40:

40    I 2

20    I  2

10     I   2

5      I   5

1

2^2* 2 * 5 = 40

Reemplazamos en la raíz:

\sqrt{2^2*2*5}

2\sqrt{2*5} =2\sqrt{10}

Tenemos que 2√10 es igual al diámetro del circulo. Como deseamos encontrar es radio. Dividimos por dos.

2√10/2 = √10

Sacamos la área:

π * (√10)^2 = 10π

Ahora encontraremos el área sombreada sacando la diferencia entre el área del circulo mayor y el cuadrado:

El resultado final sería este

10π - 16

Podemos simplificar más obteniendo factor común dos:

2(5π  - 8)

El ejercicio es algo extenso y un poco complejo. Sin embargo, espero haberte ayudado :)

Adjuntos:

danielarechigagibert: Gracias. ¿Cómo supiste qué valores necesitaban la base y altura del triángulo?
GalacticHorse: A partir del los radios menores de los semicírculos.
danielarechigagibert: Entiendo. Ya marqué como mejor respuesta, ya que ha sido la única solución que he podido encontrar. Sin embargo, me extraña que este problema sea tan complejo, pues los tres anteriores eran mucho más sencillos. ¿No sabe si hay alguna fórmula o ley que se use en este problema?
GalacticHorse: Realmente. Intente solucionarlo con teorema de cuerdas. Pero, no me funciono. Indague un poco y solo logré encontrar la solución a partir de un artilugio geometrico
danielarechigagibert: Está bien, muchas gracias por su ayuda.
GalacticHorse: Dale, amigo. Fue con mucho gusto. Creo que este punto fue puesto en el examen canguro matematico mexico 2018.
danielarechigagibert: Ya veo que sí, aunque ese no tenía el círculo tan problemático.
GalacticHorse: Si, lo tenía. Es más. El punto estaba exactamente igual a este, creo.
danielarechigagibert: Tienes razón, yo estaba en unas categorías anteriores y el problema ahí era más sencillo. Bueno, supongo que para resolver el problema el triángulo debería de estar trazado desde el principio. Sería muy fácil, pero jamás había visto nada como eso. Entiendo que en cuanto a los lados es por 2 + 6 = 8, y son 8 semicírculos, pero sigue siendo muy inusual.
GalacticHorse: Si. Hay que tener un buen conocimiento sobre geometría. Además, de un gran análisis. Sin embargo, a la larga que se van haciendo ejercicios, se empiezan a comprender correctamente.
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