Question

Cuánto debe valer a para que el coeficiente de x^8 en la multiplicación de
2x^8+ 5x^7-3x^6 + 7x^5 – 9x^4 + 5x^2 – 3x + 1 y x^5 + 3x^4 – 7x^3 + ax^2 – 2x + 1 sea -96. Si
a se redujera a la mitad del valor encontrado, ¿cuál sería el coeficiente de x
8?

Answer 1

a  debe valer  4  para que el coeficiente de  x⁸  sea   -96.  Si   a  se reduce a la mitad del valor encontrado; es decir,  a  vale  2,   el coeficiente de  x⁸  será   -90.

Explicación:

El coeficiente de  x⁸  en la multiplicación:

(2x⁸+ 5x⁷-3x⁶ + 7x⁵ – 9x⁴ + 5x² – 3x + 1) (x⁵ + 3x⁴ – 7x³ + ax² – 2x + 1)

se obtiene al sumar todos los coeficientes de los términos que resultan del producto de términos cuyas potencias de  x  sumen  8.

Esta suma de términos debe tener un coeficiente igual a  -96.  Por lo tanto podemos construir una ecuación lineal cuya incógnita es el valor de  a:

(2x⁸)(1) + (5x⁷)(–2x) + (-3x⁶)(ax²) + (7x⁵)(–7x³) + (-9x⁴)(3x⁴)  =  -96x⁸    ⇒

2x⁸  -  10x⁸  -  3ax⁸  -  49x⁸  -  27x⁸  =  -96x⁸    ⇒

2  -  10  -  3a  -  49  -  27  =  -96    ⇒    -3a  -  84  =  -96    ⇒

-3a  =  -12    ⇒   a  =  4

a  debe valer  4  para que el coeficiente de  x⁸  sea   -96.

Para responder al planteamiento: Si   a  se redujera a la mitad del valor encontrado, ¿cuál sería el coeficiente de x⁸?

Vamos a sustituir      a =  2    (la mitad del valor encontrado) en el producto que nos permite obtener el término grado  8:

(2x⁸)(1) + (5x⁷)(–2x) + (-3x⁶)(2x²) + (7x⁵)(–7x³) + (-9x⁴)(3x⁴)  =

2x⁸  -  10x⁸  -  6x⁸  -  49x⁸  -  27x⁸  = -90x⁸

Si   a  se reduce a la mitad del valor encontrado; es decir,    a  =  2,     el coeficiente de   x⁸   será     -90.