Question

cuantas ternas x,y,z de numeros reales, satisfacen el sistema siguiente x(x+y+z)=26; y(x+y+z)=27; z(x+y+z)=28

Answer 1

Buenas tardes,

Para resolver el problema que planteas podemos aplicar una metodología de sumatoria de las 3 ecuaciones, dado que tal como se aprecia se tiene un factor común en cada una de ellas compuesta por la suma de las variables X, Y y Z contenidas en el paréntesis, lo cual será el primer paso para simplificar la cantidad de expresiones, teniendo como resultado que:

x*(x + y + z) + y*(x + y + z) + z*(x + y + z) = 26 + 27 + 28 ... Expresión (1)

De la expresión (1), tenemos que si aplicamos métodos de simplificación, como extraer el factor común dado por (x + y + z), se obtiene que:

(x + y + z)*(x + y + z) = 81 ... Expresión (2)

Tras ello obtenemos que es posible escribir una sola base o expresión elevada a la potencia 2, por lo que aplicando luego extracción de raíz se generan 2 soluciones para el factor (x + y + z), recordando que al extraer raíz cuadrada se originan 2 posibles valores, uno positivo y otro negativo, que comparten la misma magnitud, entiéndase con ello:

(x + y + z) = +9 ó (x + y + z) = -9 ... Expresión (3)

A partir de la expresión (3), conocido un factor que es común en las 3 expresiones dadas inicialmente, basta con sustituir ambas soluciones y se obtendrá el valor de cada componente que conforma la terna, de modo que se tienen los siguientes resultados:

$x = \frac{26}{9}$ ó $x = \frac{-26}{9}$

$y = \frac{27}{9}$ ó $y = \frac{-27}{9}$

$z = \frac{28}{9}$ ó $z = \frac{28}{9}$

Por lo que se observa se obtienen 2 posibles valores de cada componente, de modo que se tienen 2 posibles ternas solución, tal que:

1. $(x,y,z) = (\frac{26}{9}, \frac{27}{9}, \frac{28}{9})$

2. $(x,y,z) = (\frac{-26}{9}, \frac{-27}{9}, \frac{-28}{9})$

Espero haberte ayudado.