Question

cuantas soluciones tiene una ecuacion lineal?

Answer 1

Una ecuación con varias incógnitas es lineal si es de la forma ax + by = c, ax + by + cz = d,…, es decir, si las incógnitas aparecen sin exponentes (elevadas a 1). 

Un sistema de ecuaciones lineales compatible, o bien tiene solución única (es determinado), o tiene infinitas soluciones (es indeterminado). 

Existen varios métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones: el método de sustitución, el método de igualación y el método de reducción. A continuación se aplican en la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. 

El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su expresión en la otra, la cual se transformará en una ecuación con una incógnita que se puede resolver. Una vez conocido el valor de dicha incógnita se obtiene, de inmediato, el valor de la otra. 

Para resolver el sistema por el método de sustitución conviene despejar la y de la segunda ecuación: 

y = 10 – 4x (ahora se sustituye su valor en la primera) Þ 2x - 5.(10 – 4x) = 16 

Se resuelve la ecuación resultante, pues sólo tiene una incógnita: 

2x – 50 + 20x = 16 Þ 22 . x = 66 Þ x = 66 : 22 = 3 

Ahora el valor de x se sustituye en la expresión de y obtenida antes: 

y = 10 – 4x = 10 – 4 · 3 = 10 – 12 = – 2 

Se ha obtenido así la solución x = 3, y = – 2. 

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar sus expresiones, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta se obtiene fácilmente el valor de la otra incógnita. 

Para resolver por igualación el sistema anterior, se puede despejar la x en ambas ecuaciones e igualar sus expresiones: 

(despejamos x en cada una de las expresiones para igualarlas y, de esa manera, poder hallar el valor de y) 

Por último, se sustituye el valor de y en alguna de las expresiones de x: 

Se ha obtenido la solución x = 3, y = – 2. 

El método de reducción consiste en procurar que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una ecuación con sólo la otra incógnita. Se resuelve dicha ecuación y el valor de la incógnita se sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede obtener el valor de la otra incógnita. 

Para resolver por reducción el mismo sistema: 

se multiplican los dos miembros de la primera ecuación por 2 con el fin de que el coeficiente de la x sea el mismo en ambas ecuaciones: 4x – 10y = 32 y 4x + y = 10 

Ahora, restando miembro a miembro se obtiene la ecuación siguiente: 

– 11y = 22 Þ y = 22 : (– 11) Þ y = – 2. 

Y se sustituye en una de las ecuaciones iniciales: 

2x – 5(–2) = 16 Þ 2x + 10 = 16 Þ 2x = 6 Þ x = 3 

La solución es x = 3, y = -2.