Question

¿Cuántas cifras tiene el numeral 317 cuando es expresado en el sistema de base 6?
Calcula el valor de "a + b", si ab=42 en base 7
Calcula el valor de "a", si 48=53 en base a
Calcula el valor de "a + b + c", si abc en base 7 = cba en base 9

Answer 1

Respuesta:

Calcula el valor de "a", si *

8

9

6

7

¿Cuántas cifras tiene el numeral 317 cuando es expresado en el sistema de base 6? *

4

3

5

6

Calcula el valor de "a + b", si *

3

4

5

6

Calcula el valor de "a + b + c", si *

10

8

7

9

Answer 2

La base de un sistema de numeración posicional, es el número que define cuantos símbolos conforman el sistema, y el orden de magnitud en el que se incrementa cada una de las cifras sucesivas en un número.

El sistema más ampliamente utilizado, el que usamos regularmente, es de base 10, o sistema decimal; donde tenemos 10 símbolos, del 0 al 9, y cada cifra, de acuerdo a su posición, aumenta su magnitud en 10 (unidad, decena, centena,etc)

Para pasar del sistema decimal a un sistema con otra base, existe un procedimiento sencillo.

• Dividir el número original entre la base deseada, de forma que se tenga un cociente entero.
• Se toma nota del resto, y se divide el cociente nuevamente entre la base deseada.
• Se repite el paso anterior hasta que el cociente sea menor a la base.
• Se ordenan los restos de las divisiones, de derecha a izquierda, en el orden en el que se efectuaron las operaciones (el último cociente se considera como el último resto).
• Este número resultante es la expresión en la base deseada de nuestro número original en base decimal.      

Por su parte, para pasar un número en base $a$ a un sistema de base decimal, se toma cada una de las cifras, de derecha a izquierda, y se multiplica por la base elevada a una potencia, que va variando. Esta potencia comienza en cero, y aumenta una unidad con cada cifra, es decir, con la primera cifra es 0, con la segunda es 1, con la tercera es 2, así sucesivamente.

Luego se suman todos los productos, y el resultado es nuestro número en base decimal.

1.- En sistema base 6, nuestro número tiene 4 cifras.

Tenemos el número 317 en base decimal, y lo expresamos en base 6, siguiendo el procedimiento indicado.

317/6=52 con resto 5

52/6=8 con resto 4

8/6=1 con resto 2

1<6 , último resto=1

ordenamos de derecha a izquierda, 1245.

Entonces, nuestro número en base decimal, 317, es igual a 1245 en base 6.

2.- $a$ es igual a 3, y $b$ es igual a 0, por tanto $a+b=3$

Tenemos que nuestro número es igual a 42 en base 7. Lo llevamos entonces a base decimal con el procedimiento descrito.

$2*7^0+4*7^1=2*1+4*7=2+28=30$

de donde

$a=3\\b=0\\a+b=3+0=3$

3. Si en base decimal es 48 y en base $a$ es igual a 53, nuestra base $a$ es igual a 9

Tenemos que en base $a$ es igual a 53, y en base decimal es 48, entonces

$3*a^0+5*a^1=48\\3*1+5*a=48\\3+5a=48\\a=(48-3)/5\\a=9$

4.-$a$ es igual a 5, $b$ es igual a 0 y $c$ es igual a 3, por tanto, $a+b+c=8$

Aplicando el procedimiento de cambio de base, llevamos ambas expresiones a base decimal e igualamos

$abc_{(7)}=cba_{(9)}\\\\(c*7^0)+(b*7^1)+(a*7^2)=(a*9^0)+(b*9^1)+(c*9^2)\\c+7b+49a=a+9b+81c$

reordenamos,

$48a=2b+80c\\24a=b+40c$

Pueden haber muchas opciones que hagan cierta esta igualdad, sin embargo, hay que tener en cuenta varias consideraciones, que limitan nuestro conjunto de valores.

• En primera instancia, sólo hablamos de valores enteros.
• Obviamente, no se consideran números negativos
• Luego, para poder existir en un sistema base 7, los valores de a,b y c no pueden ser mayores a 6.

Evaluamos entonces cada opción de a, para determinar los posibles conjuntos.

- Con a=0

$b+40c=0$

lo cual sólo es posible con b=0 y c=0, que no tendría sentido.

- Con a=1

$b+40c=24$

Lo cual sólo es posible con

• c=0 y b=24
• 1≤c≤6 y b<0
• b>24 y c<0

lo cual escapa de los límites considerados.

- Con a=2

$b+40c=48$

que sólo es posible con

• c=0 y b=48
• c=1 y b=8
• c>1 y b<0
• b>48 y c<0

- Lo mismo sucede con a=3 y a=4

- Con a=5

$b+40c=120$

que es posible con

• 0≤c≤2 y b>6
• c≥4 y b<0
• b>120 y c<0
• c=3 y b=0

que es nuestra primera, y veremos que única, combinación posible.

- Con a=6, para descartar la última,

$b+40c=144$

sólo posible con 0≤c≤3 y b>6 o 4≤c≤6 y b<0.

Nos queda entonces la única solución

a=5

b=0

c=3

más sobre otras bases de numeración, https://brainly.lat/tarea/20835866