Question

Cuando t=0s, un objeto de 4 kg de masa es soltado desde una gran altura. cuando t=6s, el objeto tiene una rapidez de 30m/s. sabiendo que mientras desciende el objeto sufre una fuerza de rozamiento con el aire que es directamente proporcional a su rapidez, hallar la rapidez cuando t=8 s? !

Answer 1

Hola.

Como el movimiento es vertical con aceleración planteamos:

∑$F_{y}=(m)(a_{y})$

Si se elige todo lo que apunte hacia arriba como positivo y lo que apunte hacia abajo negativo incluida la aceleración:

$kv-mg=-ma$

Donde ''k'' es la contante de proporcionalidad para la fuerza de rozamiento o resistencia del aire (arrastre). Si expreso esto en función de la velocidad nos queda:

$kv-mg=-m( \frac{dv}{dt})$

Divido todo para la masa:

$\frac{kv}{m}-g=- \frac{dv}{dt}$

Si dejo ''g'' al lado derecho de la ecuación:

$\frac{dv}{dt}+ (\frac{k}{m})v=g$

Llegamos a esta forma porque queremos compararla a una ecuación diferencial lineal de la forma:

$y'+p(x)y=q(x)$

Cuya solución es:

$y=C e^{- \int { p(x) } \, dx } +( \int {q(x) e^{ \int {p(x)} \, dx } } \, dx ) e^{- \int {p(x)} \, dx }$

Donde ''C'' es constante de integración y ''e'' es el número de Euler de valor 2.718281828....

Identificamos en nuestro caso que:

$p(x)= \frac{k}{m}$

$q(x)=g$

Por lo tanto la solución a nuestra ecuación será:

$v=C e^{- \int { \frac{k}{m} } \, dt } +( \int {g e^{ \int { \frac{k}{m} } \, dt } } \, dt) e^{- \int { \frac{k}{m} } \, dt }$

Nos centramos en uno de los factores con antiderivada y lo desarrollamos:

$\int {g e^{\int { \frac{k}{m} } \, dt } } \, dt= \int {g e^{ \frac{k}{m}t } } \, dt= \frac{gm}{k} e^{ \frac{k}{m}t }$

Debido a que ''k'' y ''m'' representan constantes en función del tiempo. Ahora nos ocupamos en el otro factor con antiderivada:

$e^{- \int{ \frac{k}{m} } \, dt }= e^{- \frac{k}{m}t }$

Por lo tanto la solución buscada a nuestra ecuación diferencial es:

$v=C e^{- \frac{k}{m}t } +( \frac{gm}{k} e^{ \frac{k}{m}t } )( e^{- \frac{k}{m}t } )$

Si reacomodamos términos:

$v(t)= \frac{gm}{k} +C e^{- \frac{k}{m}t }$

Esta es la ecuación de la velocidad en función del tiempo (las dos variables), debido a que se conoce ''g'' y se conoce ''m''. El valor de ''k'' generalmente te lo dan en este tipo de problemas, pero como no es dato del enunciado lo calcularemos con las condiciones dadas. La otra incógnita es el valor de la constante de integración ''C''.

Condición 1: Cuando t = 0s ⇒ v = 0 m/s (debido a que el enunciado dice que el objeto se suelta).

Condición 2: Cuando t = 6s ⇒ v = 30 m/s. Transmitimos esto a la ecuación de arriba:

$0= \frac{39.2}{k} +C$

$30= \frac{39.2}{k}+C e^{-1.5kt}$

Se nos forman dos ecuaciones con dos incógnitas. Si despejamos ''C'' de la primera ecuación:

$c= -\frac{39.2}{k}$

Y la reemplazamos en la segunda:

$30= \frac{39.2}{k}- \frac{39.2}{k} e^{-1.5k}$

$30= \frac{39.2}{k}(1- e^{-1.5k})$

$k= \frac{39.2}{30}(1- e^{-1.5k})$

Como el valor de ''k'' es dificultoso de averiguar por los métodos tradicionales se utilizan métodos de análisis numérico. La solución aproximada es:

$k=1.0204....$

Si expresamos con dos decimales k ≈ 1.03 obtenemos una buena aproximación. Reemplazando ''k'' en la ecuación donde despejamos ''C'' averiguamos que C ≈ -38.19 y la ecuación de la velocidad en función del tiempo queda:

$v(t)=38.19-38.29 e^{-0.26t}$

$v(t)=38.19(1- e^{-0.26t})$

Lo que nos pedía el problema era la velocidad a los t = 8s.

$v(8)=38.19(1- e^{-(0.26)(8)}) =33.3m/s$

Otra manera de no trabajar con métodos numéricos es asumir k = 1. Si hacemos esto siguiendo los mismos pasos anteriores C ≈ -39.2 y la ecuación de velocidad es:

$v(t)=39.2(1- e^{- \frac{t}{4} })$

Si evaluamos v(8) nos queda:

$v(8)=33.9m/s$

La cual es una buena aproximación si la comparamos con la obtenida con métodos numéricos. Un saludo.