Question

Cuando el sol forma un ángulo de 46° con el horizonte la sombra de un árbol mide 7m. Halle la altura del árbol.

Answer 1

La altura del árbol es de aproximadamente 7.249 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución

Representamos la situación en un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC que equivale a la altura del árbol , el lado AC que representa la sombra del árbol y el lado AB que es la longitud visual a la proyección de los rayos solares, con un ángulo de elevación de 46°

Donde se pide hallar:

La altura del árbol

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la sombra del árbol y de un ángulo de elevación de 46°

• Sombra del árbol = 7 metros

• Ángulo de elevación = 46°

• Debemos hallar la altura del árbol

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto adyacente (lado BC = sombra del árbol), asimismo conocemos un ángulo de elevación al sol de 46° y debemos hallar la altura del árbol, relacionamos los datos que tenemos con la tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(46)^o = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(46)^o = \frac{altura \ del \ arbol }{ sombra\ del \ arbol } }}$

$\boxed { \bold { altura \ del \ arbol=sombra\ del \ arbol \ . \ tan(46)^o }}$

$\boxed { \bold { altura \ del \ arbol=7 \ metros \ . \ tan(46)^o }}$

$\boxed { \bold { altura \ del \ arbol=7 \ metros \ . \ 1.0355303137905 }}$

$\boxed { \bold { altura \ del \ arbol \approx 7.2497121 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { altura \ del \ arbol \approx 7.249 \ metros }}$

La altura del árbol es de aproximadamente 7.249 metros