Cuando el punto de división queda entre los puntos extremos de un segmento, la razón es:
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:
Ejemplo:
¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?
Obtener la razón de un punto que divide a un segmento
Vamos a dividir un segmento AB (en color naranja) en razón un tercio, esto no quiere decir que lo dividamos en tres partes y tomemos una parte de él, lo que realmente quiere decir que si tomamos el número del numerador (una unidad) cabe tres veces en el denominador, de esta manera hemos dividido AB en cuatro partes y tomado una.
Si por ejemplo queremos dividir un segmento en 2/3, no cogemos dos partes de tres, sino que lo que hacemos es dividirlo en cinco partes (la suma del numerador más el denominador), dos partes corresponden al número del numerador y tres partes al número del denominador.
Es un segmento dirigido, esto quiere decir que la división a un tercio en el dibujo la vamos a hacer en el sentido AB, de esta manera la unidad AE que se puede repetir sobre el fragmento de tres unidades EB es distinta si la división la hacemos en razón tres a uno (en este caso AE contaría con tres unidades mientras que EB contaría con una unidad). Este último caso sería lo mismo si tomamos la división de BA a un tercio.
En conclusión, la división a un tercio de AB es lo mismo que la división a tres partido uno de BA. En el caso del dibujo la dimensión AE cabe tres veces en la dimensión EB, (decimos que AB está dividido en una razón de un tercio), es equivalente a dividir ese segmento en razón tres partido uno de BA, en este último caso BE es tres veces EA, al igual que en el caso anterior.
En el dibujo podemos ver que el segmento rojo AB con su división a un tercio por E se proyecta sobre el eje x, según el teorema de Tales tenemos que AE/EB= A’E’/E’B’.
Tenemos también que la razón AE/EB es igual a un tercio, pero A’E’=x-x1 y E’B’=x2-x, conforme vemos que el dibujo. Podemos hacer la misma relación sobre el eje y.
AE/EB = A’E’/E’B’= R, por tanto A’E’/E’B’= R, sustituyendo A’E’=x-x1 y E’B’=x2-x tenemos
x-x1= (x2-x)R, despejando la x tenemos que x =(R.x2+x1)/(1+R) y haciendo lo mismo con el otro eje tenemos y =(R.y2+y1)/(1+R), de esta manera podemos calcular las coordenadas del punto E, elemento que divide el segmento bajo una razón dada.
Punto medio de un segmento de recta
Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:
Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos.
Ejemplo:
Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB.
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