Question

Cuando el azucar se disuelve en agua la cantidad A que permanece sin disolverse despues de t minutos satisface la ecuación dA/dt=-kA donde k>0. Si 25% del azucar se disuelve despues de 1 minuto ¿Cuánto tiempo toma para que la mitad del azucar se disuelva?

Answer 1

Tema: Ecuaciones diferenciales

$t=2.41s$

Explicación paso a paso:

De acuerdo al problema sabemos que la cantidad A de azúcar sin disolverse en el agua  después de t minutos satisface:

$\frac{dA}{dt} = -kA$    Ec.1

además, sabemos que se disuelve el 25% después de un minuto, es decir, falta por disolverse 75%.

Además podemos decir que en un principio, en un momento t=0, tenemos el 100%.

En base a esto plantearemos y resolveremos nuestra ecuación diferencial.

Comenzaremos por ordenar la ec.1.

$\frac{dA}{A} = -kdt$

integramos de ambos lados:

$\int \frac{dA}{A} = -k\int dt\\ln|A|=-kt+c$

para eliminar el logaritmo natural usaremos el exponencial:

$e^{ln|A|}= e^{kt+c}\\A= e^{kt}e^c$

para fines prácticos $e^c$ lo llamaremos $C_1$, entonces nuestra ecuación resultante es:

$A(t)=C_1 e^{kt}$           Ec.2

Como dijimos, en un tiempo t=0 la cantidad de azúcar es el 100%, entonces:

$100=C_1 e^{k0}\\100=C_1 *1\\C_1=100$

entonces:

$A(t)=100e^{kt}$    Ec.3

Ahora usemos nuestro segundo dato para encontrar el valor de k, este es que en t=1, A(t)=75

$75=100e^{k*(1)}\\0.75=e^k$

despejemos ahora usando el logaritmo natural:

$ln|0.75|=ln|e^k|\\ln|0.75|=k$

Finalmente nuestra ecuación nos queda:

$A(t)=100e^{ln|0.75|t}$  Ec.4

Por último, veamos en que tiempo t, A(t)=50

$50=100e^{ln|0.75|t}\\0.5= e^{ln|0.75|t}\\ln|0.5|=ln|e^{ln|0.75|t}|\\ln|0.5|=ln|0.75|t\\t=\frac{ln|0.5|}{ln|0.75|}\\ t=2.41s$

le tomará 2.41 disolverse la mitad de la azúcar.

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