cuales son los tipos de polinomios aritméticos que se forman con los numeros racionales
Respuestas a la pregunta
CON SIGNOS DE AGRUPACION.
SIN SIGNOS DE AGRUPACIÓN.
Es una expresión en la cual se combinan numeros racionales con varias operaciones aritméticas.
Se soluciona realizando las diferentes operaciones en el siguiente orden:
1. Se resuelven potencias y raices.
2. Se realizan multiplicaciones y divisiones.
3. Se solucionan adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Grado de un polinomio
Artículo principal: Grado (polinomio)
Se define el grado de un monomio como el exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado, y se denota por {\displaystyle {\text{gr}}(p)}{\displaystyle {\text{gr}}(p)}.
Ejemplos
P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 3x² + 2x, polinomio de grado dos.
P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres.
P(x) = 4x4+ 4x + 2, polinomio de grado cuatro.
P(x) = 2x5+ 3x + 1, polinomio de grado cinco.
Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como {\displaystyle \scriptstyle -\infty }{\displaystyle \scriptstyle -\infty }.
En particular los números son polinomios de grado cero.
Polinomio cero
Es el 0, tiene grado –1. Actúa de elemento neutro aditivo: p(x) +0= p(x), para cualquier p(x).
Polinomio de grado cero
Es aquel que no lleva la indeterminada. Son los elementos no nulos de conjuntos numéricos correspondientes.
Operaciones con polinomios
Artículo principal: Operaciones con polinomios
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.
Ejemplo
Sean los polinomios: {\displaystyle P(x)=(2x_{}^{3}+4x+1)}{\displaystyle P(x)=(2x_{}^{3}+4x+1)} y {\displaystyle Q(x)_{}^{}=(5x^{2}+3)}{\displaystyle Q(x)_{}^{}=(5x^{2}+3)}, entonces el producto es:
{\displaystyle P(x)Q(x)_{}^{}=}{\displaystyle P(x)Q(x)_{}^{}=} {\displaystyle (2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2}+3)=}{\displaystyle (2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2}+3)=} {\displaystyle (2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2})+(2x^{3}+4x+1)(3)=}{\displaystyle (2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2})+(2x^{3}+4x+1)(3)=} {\displaystyle (10x_{}^{5}+20x^{3}+5x^{2})+(6x^{3}+12x+3)=}{\displaystyle (10x_{}^{5}+20x^{3}+5x^{2})+(6x^{3}+12x+3)=} {\displaystyle 10x_{}^{5}+26x^{3}+5x^{2}+12x+3}{\displaystyle 10x_{}^{5}+26x^{3}+5x^{2}+12x+3}
Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:
{\displaystyle P(x)Q(x)_{}^{}=}{\displaystyle P(x)Q(x)_{}^{}=} {\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}x^{j}\right)=}{\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}x^{j}\right)=} {\displaystyle \sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{p=0}^{k}a_{p}b_{k-p}\right)x^{k}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{p=0}^{k}a_{p}b_{k-p}\right)x^{k}}
Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:
{\displaystyle P(x)Q(x)_{}^{}=}{\displaystyle P(x)Q(x)_{}^{}=} {\displaystyle (2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2}+3)=}{\displaystyle (2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2}+3)=} {\displaystyle (1\cdot 3)x_{}^{0}+(4\cdot 3)x^{1}+(1\cdot 5)x^{2}+(4\cdot 5+2\cdot 3)x^{3}+(0)x^{4}+(5\cdot 2)x^{5}=}{\displaystyle (1\cdot 3)x_{}^{0}+(4\cdot 3)x^{1}+(1\cdot 5)x^{2}+(4\cdot 5+2\cdot 3)x^{3}+(0)x^{4}+(5\cdot 2)x^{5}=} {\displaystyle 10x_{}^{5}+26x^{3}+5x^{2}+12x+3}{\displaystyle 10x_{}^{5}+26x^{3}+5x^{2}+12x+3}
Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios {\displaystyle \scriptstyle P(X)}{\displaystyle \scriptstyle P(X)} y {\displaystyle \scriptstyle Q(X)}{\displaystyle \scriptstyle Q(X)} y el polinomio producto {\displaystyle \scriptstyle P(X)Q(X)}{\displaystyle \scriptstyle P(X)Q(X)}:
Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que {\displaystyle \scriptstyle {\mbox{gr}}(0)=-\infty }{\displaystyle \scriptstyle {\mbox{gr}}(0)=-\infty } (junto con la operación {\displaystyle \forall p:-\infty +p=-\infty }{\displaystyle \forall p:-\infty +p=-\infty }) por lo que la expresión puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulo.