cuáles son los tipos de ecuaciones para una recta
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La recta se puede definir como el conjunto infinito de puntos alineados en una sola dirección. Observada en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal.
La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano)es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta.
El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta.
Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la línea recta que se quiere representar algebraicamente. Por eso hay varias formas de representar la ecuación de la recta.
Explicación:
1. – Ecuación general de la recta
Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.
De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y).
Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación
Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el plano cartesiano pues la ecuación de la rectan no tiene existencia conceptual sin un plano cartesiano
Ax + By + C = 0
Ecuación General
la ecuación general de primer grado Ax +By+C = 0 donde A, B, C pertenecen a los números reales (⋹R) y q A y B son deferentes de cero, representa una linea recta
2. – Ecuación pendiente ordenada (primer imagen)
Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta.
Veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula:
y = mx + n
m: Pendiente
n: Ordenada al origen de la recta
Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de intercepción en el eje de las ordenadas (y).
Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda, m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa), y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y).
3. – Ecuación Punto - Pendiente
Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma
y − y1 = m(x − x1)
y – b = m(x – 0)
y – b = mx
y = mx + b
Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7).
Conocida la fórmula de la ecuación pendiente ordenada es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede ser el intercepto.
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.
Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.
Usamos la información que tenemos:
m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación
y = 3x + 10.
La ecuación que se pide es y = 3x + 10.
Nótese que también podemos expresarla como una ecuación general:
y – 3x – 10 = 0, la cual amplificamos por –1, quedando como
– y + 3x + 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar
3x – y + 10 = 0
4. –Pendiente de una Recta (2 imagen)
Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados:
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene pendiente m = – 3.
Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas.
Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente 5.
m=y2-y1/x2-x1
Entonces, a partir de esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la recta, con la fórmula:
y-y1=m(x-x1)
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente de – 1/3
Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:
y – y1 = m(x – x1)
y – (–4) = – 1/3(x – 2)
3(y + 4) = –1(x – 2)
3y + 12 = –x + 2
3y +12 + x – 2 = 0
3y + x + 10 = 0
x + 3y + 10 = 0 (3 imagen)
5. – Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos de una recta. Sobre la base de estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.
Para ello tomemos un tercer punto R(x, y), también perteneciente a la recta.
(4 imagen)
Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)
(5 imagen)
